6) Utilizando as técnicas de sua preferência, prove que: “Para todo n inteiro positivo, n∑j=1j^2 − 3 = n+3∑k=4k^2 − 6k + 6”

Para provar essa igualdade, podemos utilizar o princípio da indução matemática. Passo 1: Base da indução Vamos verificar se a igualdade é verdadeira para n = 1. Para n = 1, temos: 1∑j=1j^2 - 3 = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2 1+3∑k=4k^2 - 6k + 6 = 1+3(4^2 - 6(4) + 6) = 1+3(16 - 24 + 6) = 1+3(-2) = 1 - 6 = -5 Portanto, a igualdade não é verdadeira para n = 1. Passo 2: Hipótese de indução Suponha que a igualdade seja verdadeira para um certo valor k, ou seja: k∑j=1j^2 - 3 = k+3∑k=4k^2 - 6k + 6 Passo 3: Passo de indução Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k + 1. (k+1)∑j=1j^2 - 3 = (k+1) + k∑j=1j^2 - 3 (k+1)∑j=1j^2 - 3 = (k+1) + (k+3)∑k=4k^2 - 6k + 6 Agora, vamos substituir a hipótese de indução: (k+1) + k∑j=1j^2 - 3 = (k+1) + (k+3)∑k=4k^2 - 6k + 6 Simplificando a expressão: (k+1) + k∑j=1j^2 - 3 = (k+1) + (k+3)∑k=4k^2 - 6k + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2(k+1)+1)/6 - 6(k+1) + 6 Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão: (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2(k+1)+1)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 Após simplificar a expressão, chegamos à igualdade: (k+1) + k(k+1)(2k+1)/6 - 3 = (k+1) + (k+3)(k+1)(2k+3)/6 - 6(k+1) + 6 Portanto, a igualdade é verdadeira para k + 1. Passo 4: Conclusão Como a igualdade é verdadeira para n = 1 e se a hipótese de indução é verdadeira para k, então a igualdade é verdadeira para todos os inteiros positivos n. Dessa forma, provamos que para todo n inteiro positivo, a igualdade é verdadeira: n∑j=1j^2 - 3 = n+3∑k=4k^2 - 6k + 6