1) Por Demonstração Direta, temos n como um número par e o seu quadrado também é par então: n = 2k; n2 = (2k)2 = 4k2 = 2*2k2 = par; onde k é um in...

1) Por Demonstração Direta, temos n como um número par e o seu quadrado também é par então:
n = 2k; n2 = (2k)2 = 4k2 = 2*2k2 = par; onde k é um inteiro; com isso temos que n2 é par e n também é par.

2) Resposta: Temos dois inteiros x, y, tal que: (x2 - y2) = (x + y)*(x - y); como são quadrados consecutivos a soma “diferença” será sempre ímpar. x + y = ímpar, x2 - y2 = ímpar.
12 - 02 = 1; 22 - 12 = 3; 32 - 22 = 5; 42 - 32 = 7; 52 - 42 = 9; e assim sucessivamente.

3) Resposta: Pela definição de um número racional, ele pode ser escrito como: a/b, onde a, b são inteiros. Supondo por absurdo que exista um irracional I tal que a soma dele com um racional a/b resulte num número raciona c/d, temos: a/b + I = c/d, onde I = c/d – a/b = bc-ad / bd, como a, b, c e d são inteiros, bc – ad e bd também são inteiros onde bc-ad/bd = I, deve ser irracional, sendo então uma contradição, pois foi suposto que I era irracional.

4) Resposta: Por contraposição: Se 1/x fosse racional, então por definição, 1/x = p/q para alguns inteiros p e q com q diferente de 0. Como 1/x não pode ser 0 (caso fosse, teríamos a contradição 1 = x * 0 ao multiplicar ambos os lados por x), sabemos que p é diferente de 0, agora x = 1/(1/x) = 1/(p/q) = q/p pelas regras da álgebra e da aritmética, portanto x pode ser escrito como o quociente de dois inteiros com o denominador diferente de zero, logo x é racional.

5) Resposta: Usando Contraposição, basta demonstrar o equivalente que: x + y ≥ 2 → x ≥ 1 ou y ≥ 1; x ≤ 1 ou y ≤ 1 → x + y ≤ 2, casos: x = 0, x = 1, x = 2; casos: y = 0, y = 1, y = 2.
Caso 1 : 0 + 0 ≥ 2, então: x ≥ 1 ou y ≥ 1. Não satisfazendo nesse caso.
Caso 2: 1 + 1 ≥ 2, então x ≥ 1 ou y ≥ 1. Satisfazendo nesse caso.
Caso 3: 1 + 1 ≤ 2, então x ≤ 1 ou y ≤ 1. Satisfazendo também
Caso 4: 2 + 2 ≤ 2, então x ≤ 1 ou y ≤ 1. Não satisfazendo nesse caso.

6) a) Resposta: Prova por contraposição: Temos que provar que n3+5 é ímpar, sendo n = par, ou seja se n3+5 é par n é ímpar; se n3+5 é par então n3+5 = 2k, logo n3+2*2+1=2k, logo n3 tem que ser ímpar pois caso fosse par: 2m+2*2+1=2(m+2) + 1, que é ímpar. Porém se n3 é ímpar, n não pode ser par, pois nesse caso n3=2r*2r*2r=2(4r2) que é par, logo n terá que ser ímpar.
b) Resposta: Prova por contradição: Temos que provar que, se n3+5 é ímpar então n é par por contradição; Temos que n3+5 é ímpar mas n também é ímpar; Porém, se n é ímpar, é da forma 2k+1, nesse caso teríamos n3 +5 = (2k+1)3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k2+ 4k+3) (2k+1) + 5 = 8k3 + 4k2 + 8k2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k3 + 12k2 + 8k + 8 = 2(4k3 + 6k2 + 4k + 4) Que, em contradição de que n3+5 é ímpar.

7) Resposta: Se escolhêssemos 9 ou menos dias em cada dia da semana, seria 9 * 7 = 63, mas a questão pede 64, essa contradição diz que pelo menos 10 dos dias que foram escolhidos devem ser no mesmo dia da semana.

8) Resposta: Temos que 5n+6 é ímpar se n for ímpar, por absurdo temos que 5n+6 é ímpar e n é par (p → ~q) se n é par, existe um inteiro k tal que n = 2k. 5n+6 = 5(2k)+6; → 10k+2 = 2(5k+1) = 2t onde t = (5k+1), logo 5n+6 é par, encontramos que ~p é verdadeiro, e p também é verdadeiro, logo uma contradição p ^ ~p, logo ~q é falso e por fim temos que n é ímpar.

9) Resposta: Usando prova por casos, temos que |x| + |y| ≥ |x + y|, elevando ao quadrado, para que Z > 0, Z∈ℝ, a relação z2 é uma relação injetora. |x2| + 2*|x|*|y|2 ≥ x2 +2*x*y+y2; Sabemos que |x|2 = x2, para todo x∈ℝ, a relação também vale para y; x2 + 2*|x|*|y|+y2 ≥ x2 + 2*x*y+y2; |x|*|y| ≥ x * y; Com isso temos o caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0: |x| = x; |y| = y → |x| * |y| = x * y. Satisfazendo nesse caso
Caso 2: x