(Exercicios 1.2 - 8 Questão)Suponha um tanque na forma de um cilindro circular reto de raio 2m e altura 10m. O tanque está inicialmente cheio de ...

Para obter a equação diferencial para a altura h da água em qualquer instante de tempo t, podemos usar o princípio de Torricelli, que relaciona a velocidade de escoamento do líquido com a altura da coluna de água no tanque. A área da seção transversal do orifício circular é dada por A = πr^2, onde r é o raio do orifício. No caso, o raio do orifício é 1/2 cm, o que equivale a 0,005 m. Portanto, a área do orifício é A = π(0,005)^2. A velocidade de escoamento do líquido pelo orifício é dada pela equação de Torricelli: v = √(2gh), onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s^2) e h é a altura da coluna de água no tanque. A taxa de variação do volume de água no tanque em relação ao tempo é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade de escoamento: dV/dt = A * v. Como o volume do cilindro é dado por V = πr^2h, podemos derivar essa equação em relação ao tempo para obter a taxa de variação do volume em relação ao tempo: dV/dt = πr^2 * dh/dt. Igualando as duas expressões para dV/dt, temos: πr^2 * dh/dt = A * v. Substituindo os valores de r, A e v, temos: π(0,005)^2 * dh/dt = π(0,005)^2 * √(2gh). Simplificando a equação, temos: dh/dt = √(2gh). Essa é a equação diferencial que relaciona a altura h da água no tanque com o tempo t.