(Exercicios 2.3 - 21 Questão) Resolver a equação, 2x2ydx = (3x3 + y3)dy .

Para resolver a equação 2x^2ydx = (3x^3 + y^3)dy, podemos utilizar o método de separação de variáveis. Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por ydx: 2x^2 = (3x^3 + y^3)/(ydx) Agora, vamos separar as variáveis, colocando todos os termos com x no lado esquerdo e todos os termos com y no lado direito: 2x^2/ydx = (3x^3 + y^3)/y Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação às suas respectivas variáveis: ∫2x^2/ydx = ∫(3x^3 + y^3)/y dy Integrando o lado esquerdo em relação a x, obtemos: ∫2x^2/ydx = x^3/y + C1 Integrando o lado direito em relação a y, obtemos: ∫(3x^3 + y^3)/y dy = 3x^3y/y + ∫y^2/y dy = 3x^3 + y^2 + C2 Agora, igualamos as duas expressões obtidas: x^3/y + C1 = 3x^3 + y^2 + C2 Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por x^3: 1/y + C1/x^3 = 3 + y^2/x^3 + C2/x^3 Agora, podemos resolver essa equação para encontrar a solução da equação diferencial. No entanto, é importante notar que a equação original é uma equação diferencial de primeira ordem e, portanto, deve ter uma constante arbitrária. Portanto, a solução geral da equação diferencial será expressa em termos de uma constante C: 1/y + C1/x^3 = 3 + y^2/x^3 + C2/x^3 Essa é a solução geral da equação diferencial. Para encontrar a solução particular, é necessário utilizar as condições iniciais ou informações adicionais fornecidas no exercício.