Nos problemas abaixo achar um fator integrante e resolver a equação dada a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0; b) y′ = e2x + y − 1; c) dx+ (x ...

Vamos resolver cada uma das equações dadas: a) (3x^2y + 2xy + y^3)dx + (x^2 + y^2)dy = 0 Para encontrar um fator integrante, vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais em relação a y de ambos os termos: ∂M/∂y = 2x + 2y ∂N/∂x = 2x Como ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata. Vamos encontrar um fator integrante μ(x, y) para torná-la exata. Podemos usar o fator integrante μ = 1/(xy^2). Multiplicando a equação original por μ: (3x^2y + 2xy + y^3)/(xy^2)dx + (x^2 + y^2)/(xy^2)dy = 0 Simplificando: (3x + 2/y + y)dx + (x/y^2 + 1/x)dy = 0 Agora, vamos verificar se a equação é exata: ∂M/∂y = 2/y^2 + 1 ∂N/∂x = 1/y^2 + 1/x Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a solução. Integrando o termo em relação a x e o termo em relação a y: ∫(3x + 2/y + y)dx = ∫(x/y^2 + 1/x)dy (3/2)x^2 + 2ln|y| + y^2/2 = ln|x| + y/x + C Essa é a solução geral da equação. b) y' = e^(2x) + y - 1 Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos reescrevê-la na forma padrão: y' - y = e^(2x) - 1 O fator integrante para essa equação é μ(x) = e^(-x). Multiplicando a equação original por μ: e^(-x)y' - e^(-x)y = e^(x) - e^(-x) Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫[e^(-x)y' - e^(-x)y]dx = ∫[e^(x) - e^(-x)]dx e^(-x)y - ∫e^(-x)y'dx = ∫e^(x)dx - ∫e^(-x)dx e^(-x)y - ∫e^(-x)y'dx = e^(x) + e^(-x) + C e^(-x)y - (-e^(-x)y) = e^(x) + e^(-x) + C 2e^(-x)y = e^(x) + e^(-x) + C y = (e^(x) + e^(-x) + C)/(2e^(-x)) Essa é a solução geral da equação. c) dx + (xy - sen(y))dy = 0 Para encontrar um fator integrante, vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais em relação a y de ambos os termos: ∂M/∂y = x - cos(y) ∂N/∂x = 1 Como ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata. Vamos encontrar um fator integrante μ(x, y) para torná-la exata. Podemos usar o fator integrante μ = e^(∫(x - cos(y))dy). Integrando em relação a y: μ = e^(xy - sen(y)) Multiplicando a equação original por μ: e^(xy - sen(y))dx + e^(xy - sen(y))(xy - sen(y))dy = 0 Essa é a equação exata. Agora, vamos encontrar a solução. Integrando o termo em relação a x e o termo em relação a y: ∫e^(xy - sen(y))dx = ∫0dy e^(xy - sen(y))x = C Essa é a solução geral da equação. d) ydx + (2xy - e^(-2y))dy = 0 Para encontrar um fator integrante, vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais em relação a y de ambos os termos: ∂M/∂y = 0 ∂N/∂x = 2y Como ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata. Vamos encontrar um fator integrante μ(x, y) para torná-la exata. Podemos usar o fator integrante μ = e^(∫2ydx). Integrando em relação a x: μ = e^(y^2) Multiplicando a equação original por μ: e^(y^2)ydx + e^(y^2)(2xy - e^(-2y))dy = 0 Essa é a equação exata. Agora, vamos encontrar a solução. Integrando o termo em relação a x e o termo em relação a y: ∫e^(y^2)ydx = ∫e^(y^2)(e^(-2y) - 2xy)dy e^(y^2)y = ∫(e^(y^2)e^(-2y) - 2xye^(y^2))dy e^(y^2)y = ∫e^(y^2 - 2y)dy - 2x∫ye^(y^2)dy e^(y^2)y = (1/2)e^(y^2 - 2y) - x(1/2)e^(y^2) + C Essa é a solução geral da equação. e) [4x^3y^2 + 3y]dx + [3(x^2y^2) + 4y]dy = 0 Para encontrar um fator integrante, vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais em relação a y de ambos os termos: ∂M/∂y = 8x^3y + 3 ∂N/∂x = 6x^2y^2 Como ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata. Vamos encontrar um fator integrante μ(x, y) para torná-la exata. Podemos usar o fator integrante μ = e^(∫(8x^3y + 3)dy). Integrando em relação a y: μ = e^(4x^3y + 3y) Multiplicando a equação original por μ: e^(4x^3y + 3y)(4x^3y^2 + 3y)dx + e^(4x^3y + 3y)(3(x^2y^2) + 4y)dy = 0 Essa é a equação exata. Agora, vamos encontrar a solução. Integrando o termo em relação a x e o termo em relação a y: ∫e^(4x^3y + 3y)(4x^3y^2 + 3y)dx = ∫e^(4x^3y + 3y)(3(x^2y^2) + 4y)dy Essa equação é mais complexa e requer técnicas adicionais para resolvê-la.