Exerćıcio 10. Calcule a integral trocando a ordem de integração. (a) ∫ 1 0 ∫ 3 3y ex 2 dxdy (b) ∫ √π 0 ∫ √π y cosx2dxdy (c) ∫ 4 0 ∫ 2 √ x 1 y3 +...

Vamos calcular cada uma das integrais trocando a ordem de integração: (a) ∫ 1 0 ∫ 3 3y ex 2 dxdy Primeiro, vamos integrar em relação a x: ∫ 3 3y ex 2 dx = ex^2 | de 3y até 3y = ex^2 - e(3y)^2 = ex^2 - e(9y^2) Agora, vamos integrar em relação a y: ∫ 1 0 (ex^2 - e(9y^2)) dy = (ex^2 - e(9y^2)) | de 0 até 1 = ex^2 - e(9) - (ex^2 - e(0)) = ex^2 - e(9) - ex^2 + 1 = 1 - e(9) Portanto, a resposta para a integral (a) é 1 - e(9). (b) ∫ √π 0 ∫ √π y cosx^2 dxdy Primeiro, vamos integrar em relação a x: ∫ √π y cosx^2 dx = ∫ √π y cosx^2 dx = √π * sin(y^2) Agora, vamos integrar em relação a y: ∫ √π 0 √π * sin(y^2) dy = -1/2 * cos(y^2) | de 0 até √π = -1/2 * (cos(π) - cos(0)) = -1/2 * (1 - 1) = 0 Portanto, a resposta para a integral (b) é 0. (c) ∫ 4 0 ∫ 2 √ x 1 y^3 + 1 dydx Primeiro, vamos integrar em relação a y: ∫ 4 0 1/(y^3 + 1) dy = ln|y^3 + 1| | de 0 até 4 = ln(4^3 + 1) - ln(0^3 + 1) = ln(65) Agora, vamos integrar em relação a x: ∫ 2 √ x ln(65) dx = ln(65) * (x^(3/2)/3/2) | de 2 até 4 = ln(65) * (4^(3/2)/3/2 - 2^(3/2)/3/2) = ln(65) * (8/3 - 2/3) = ln(65) * (6/3) = 2ln(65) Portanto, a resposta para a integral (c) é 2ln(65). (d) ∫ 1 0 ∫ 1 x ex/y dydx Primeiro, vamos integrar em relação a y: ∫ 1 x ex/y dy = ex * ln|y| | de 1 até x = ex * ln(x) - ex * ln(1) = ex * ln(x) Agora, vamos integrar em relação a x: ∫ 1 0 ex * ln(x) dx = ex * (x * ln(x) - x) | de 0 até 1 = e - e(0) - 0 = e - 1 Portanto, a resposta para a integral (d) é e - 1. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.