Lista 02 calculo III

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Universidade Federal de São Carlos-Departamento de Matemática
89303-Cálculo 3: Lista 2
Prof(a): Alessandra Verri
Exerćıcio 1. Calcule as integrais iteradas.
(a)
∫ 1
0
∫ x2
0
(x+ 2y)dydx (b)
∫ 1
0
∫ x
x2
(1 + 2y)dydx
(c)
∫ π/2
0
∫ cos y
0
esen ydxdy (d)
∫ 2
0
∫ x
−x
x3y2dydx
Exerćıcio 2. Calcule as integrais duplas.
(a)
∫∫
D
4y
x3 + 2
dA, D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}
(b)
∫∫
D
xdA, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ senx}
(c)
∫∫
D
x3dA, D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}
(d)
∫∫
D
y2exydA, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 4}
(e)
∫∫
D
x
√
y2 − x2dA, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1}
(f)
∫∫
D
x cos ydA, D é delimitada por y = 0, y = x2 e x = 1
(g)
∫∫
D
y3dA, D é o triângulo de vértices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)
Exerćıcio 3. Determine o volume do sólido: abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região
delimitada por y = x2 e x = y2.
Exerćıcio 4. Determine o volume do sólido: abaixo da superficie z = xy e acima do triângulo com
vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
Exerćıcio 5. Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z =
1.
Exerćıcio 6. Determine o volume do sólido delimitado pelos cilindros z = x2, y = x2 e pelos planos
z = 0 e y = 4.
Exerćıcio 7. Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z,
x = 0 e z = 0 no primeiro octante.
Rafaela Fachola
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Cálculo III
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Exerćıcio 8. Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide ciĺındrico y = x2 e pelos
planos z = 3y e z = 2 + y (dica: resolva por subtração de dois volumes).
Exerćıcio 9. Determine o volume do sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y = 1−x2, y = x2−1
e pelos planos x+ y + z = 2 e 2x+ 2y − z + 10 = 0.
Exerćıcio 10. Calcule a integral trocando a ordem de integração.
(a)
∫ 1
0
∫ 3
3y
ex
2
dxdy (b)
∫ √π
0
∫ √π
y
cosx2dxdy
(c)
∫ 4
0
∫ 2
√
x
1
y3 + 1
dydx (d)
∫ 1
0
∫ 1
x
ex/ydydx
Respostas: 1. (a) 9/20 (b) 3/10 (c) e− 1 (d) 256/21 2. (a) (8/3) ln(10/3) (b) π (c) (1 + 3e4)/16
(d) (e16 − 17)/2 (e) 1/12 (f) (1− cos 1)/2 (g) 147/20 3. 6/35 4. 31/8 5. 1/6 6. 128/15 7. 1/3
8. 16/15 9. 64/3 10. (a) (e9 − 1)/6 (b) 0 (c) (ln 9)/3 (d) (e− 1)/2
2
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