22- (UFES) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o quíntuplo da área da base, calcule seu volu...

Para calcular o volume da pirâmide regular hexagonal, podemos usar a fórmula: V = (1/3) * A_base * h Onde A_base é a área da base e h é a altura da pirâmide. Sabemos que a aresta da base mede 4 cm. Como a base é um hexágono regular, podemos dividir esse hexágono em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula: A_tri = (l^2 * √3) / 4 Onde l é o lado do triângulo. No caso, o lado do triângulo é igual à aresta da base, que é 4 cm. Substituindo na fórmula, temos: A_tri = (4^2 * √3) / 4 A_tri = 4√3 cm² Sabemos também que a área lateral é o quíntuplo da área da base, ou seja: A_lateral = 5 * A_base Substituindo o valor da área da base, temos: A_lateral = 5 * 4√3 A_lateral = 20√3 cm² Agora, podemos calcular a altura da pirâmide usando o teorema de Pitágoras. A altura é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pela metade da aresta da base e a altura de um dos triângulos equiláteros. h = √(a^2 - (l/2)^2) Onde a é a aresta da base e l é o lado do triângulo. Substituindo os valores, temos: h = √(4^2 - (4/2)^2) h = √(16 - 4) h = √12 h = 2√3 cm Agora, podemos calcular o volume: V = (1/3) * A_base * h V = (1/3) * 4√3 * 2√3 V = (1/3) * 8 * 3 V = 8 cm³ Portanto, a resposta correta é a alternativa e) 9√6 cm³.