Exercício 42 – (UDESC, 2020) Se as circunferências (???? − ????)2 + (???? − 2)2 = 5 e (???? − 6)2 + (???? − ????)2 = 11,25 são tangentes exteriores no ponto (3...

Para resolver esse exercício, vamos utilizar o conceito de tangência entre circunferências. Primeiro, vamos escrever as equações das circunferências dadas: (???? − ????)² + (???? − 2)² = 5 (Equação 1) (???? − 6)² + (???? − ????)² = 11,25 (Equação 2) Sabemos que as circunferências são tangentes exteriores no ponto (3, 3). Isso significa que a distância entre os centros das circunferências é igual à soma dos raios. Vamos chamar os centros das circunferências de (x1, y1) e (x2, y2), e os raios de r1 e r2, respectivamente. A partir da equação da distância entre dois pontos, temos: √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = r1 + r2 Substituindo os valores conhecidos, temos: √((6 - a)² + (b - 2)²) = √(5) + √(11,25) Simplificando a equação, temos: (6 - a)² + (b - 2)² = 5 + 11,25 + 2√(5)√(11,25) (6 - a)² + (b - 2)² = 16,25 + 2√(5)√(11,25) Expandindo os quadrados, temos: a² - 12a + 36 + b² - 4b + 4 = 16,25 + 2√(5)√(11,25) a² - 12a + b² - 4b + 44 = 16,25 + 2√(5)√(11,25) a² - 12a + b² - 4b + 27,75 - 2√(5)√(11,25) = 0 (Equação 3) Agora, vamos utilizar as coordenadas do ponto de tangência (3, 3) para substituir na Equação 3: (3)² - 12(3) + (3)² - 4(3) + 27,75 - 2√(5)√(11,25) = 0 9 - 36 + 9 - 12 + 27,75 - 2√(5)√(11,25) = 0 -21 + 27,75 - 2√(5)√(11,25) = 0 6,75 - 2√(5)√(11,25) = 0 Agora, vamos isolar o termo com a raiz quadrada: 2√(5)√(11,25) = 6,75 √(5)√(11,25) = 3,375 √(5) * √(11,25) = 3,375 √(5 * 11,25) = 3,375 √(56,25) = 3,375 7,5 = 3,375 A igualdade não é verdadeira, portanto, não há solução para esse sistema de equações. Portanto, a resposta correta é: "Não há solução". Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.