A5) Seja A = {a + b √2 | a, b ∈ }. Mostre que se f : A −→ A for um isomorfismo de anéis, então f (√2) = √2 ou f (√2) = −√2. Solução: Se f for isomorfismo de anéis, então f (1) = 1 o que implica f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 1 + 1 = 2 e daı́ obtemos 2 = f (2) = f (√2 · √2) = f (√2) · f (√2) = [ f (√2)]2 ⇒ [ f (√2)]2 = 2 de onde concluı́mos que f (√2) = ±√2.
Respostas
Ed 
há 2 anos
A solução apresentada está correta. Se f for um isomorfismo de anéis, então f(1) = 1, o que implica f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2. A partir disso, podemos obter que 2 = f(2) = f(√2 · √2) = f(√2) · f(√2) = [f(√2)]^2. Portanto, concluímos que f(√2) = ±√2.
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g) A função nula pertence a I; logo, I , ∅. Se f , g ∈ I, então f (3) = f (4) = g(3) = g(4) = 0. Daı́, ( f − g)(3) = f (3)− g(3) = 0− 0 = 0 e ( f − g)(4) = f (4)− g(4) = 0 − 0 = 0; logo, f − g ∈ I. Se h ∈ A, então ( f · h)(3) = f (3) · h(3) = 0 · h(3) = 0 e ( f · h)(4) = f (4) · h(4) = 0 · h(4) = 0.. Logo, f · h ∈ I. Portanto, I é um ideal de A.
h) Sejam f (x) = −2x + 3 e h(x) = x. Então, f (1) + f (2) = 1 + (−1) = 0 ⇒ f ∈ I e g(x) = h(x) · f (x) = x(−2x + 3) = −2x2 + 3x ⇒ g(1) + g(2) = 1 + (−2) = −1 , 0 ⇒ g = h · f < I. Logo, I não é ideal de A.
A6) Verifique se f : × −→ × tal que f (x, y) = (y, x) é um isomorfismo de anéis. Solução: Sejam X = (a, b) e Y = (c, d) dois elementos do domı́nio de f . • f (X + Y) = f ((a, b)+ (c, d)) = f (a+ c, b+ d) = (b+ d, a+ c) = (b, a)+ (d, c) = f (a, b) + f (c, d) = f (X) + f (Y) • f (X · Y) = f ((a, b) · (c, d)) = f (ac, bd) = (bd, ac) = (b, a) · (d, c) = f (a, b) · f (c, d) = f (X) · f (Y); logo, f é um homomorfismo de anéis. • f (X) = f (Y) ⇒ f (a, b) = f (c, d) ⇒ (b, a) = (d, c) ⇒ b = d e a = c ⇒ (a, b) = (c, d) ⇒ X = Y; logo, f é injetora • Dado W = (r, s) ∈ × , consideremos Z = (s, r) ∈ × . Temos que f (Z) = f (s, r) = (r, s) = W; logo, f é sobrejetora. Desse modo, fica mostrado que f é um isomorfismo de anéis.
A7) Sejam um corpo e para cada a ∈ considere a função fa : −→ tal que fa(x) = axa−1. a) Mostre que fa é um isomorfismo de anéis.
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