Questão 6: Prove que quaisquer dois caminhos máximos num grafo conexo têm um vértice em comum.

Para provar que quaisquer dois caminhos máximos em um grafo conexo têm um vértice em comum, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Suponha que temos dois caminhos máximos, P1 e P2, em um grafo conexo. Se esses caminhos não tiverem nenhum vértice em comum, isso significa que todos os vértices de P1 são diferentes dos vértices de P2. No entanto, como o grafo é conexo, deve existir pelo menos um caminho entre qualquer par de vértices. Portanto, podemos escolher um vértice v em P1 e um vértice u em P2 e traçar um caminho entre eles. Agora, temos três caminhos: P1, o caminho entre v e u e P2. Se P1 e P2 são caminhos máximos, isso significa que não podemos adicionar mais arestas a eles sem formar um ciclo. No entanto, ao adicionar o caminho entre v e u, formamos um ciclo. Isso é uma contradição, pois um grafo conexo não pode ter ciclos. Portanto, nossa suposição inicial de que P1 e P2 não têm vértices em comum está errada. Concluímos, então, que quaisquer dois caminhos máximos em um grafo conexo têm pelo menos um vértice em comum.