O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo: T(...

Para encontrar os autovalores e autovetores da transformação T(x, y) = (x + 2y, 2x + y), precisamos resolver o sistema de equações lineares dado por: (x + 2y) = λx (2x + y) = λy Podemos reescrever essas equações como: x + 2y - λx = 0 2x + y - λy = 0 Agora, podemos montar a matriz associada a esse sistema de equações: | 1 - λ 2 | | 2 1 - λ | Para encontrar os autovalores, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualá-lo a zero: det | 1 - λ 2 | | 2 1 - λ | = 0 Calculando o determinante, temos: (1 - λ)(1 - λ) - 2 * 2 = 0 (1 - λ)² - 4 = 0 (1 - λ)² = 4 1 - λ = ±2 λ = 1 ± 2 λ₁ = 3 λ₂ = -1 Agora, para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, substituímos os valores de λ nas equações originais: Para λ₁ = 3: x + 2y - 3x = 0 2x + y - 3y = 0 -2x + 2y = 0 2x - 2y = 0 x = y Portanto, o autovetor correspondente a λ₁ = 3 é (1, 1). Para λ₂ = -1: x + 2y + x = 0 2x + y + y = 0 -2x - 2y = 0 2x + 2y = 0 x = -y Portanto, o autovetor correspondente a λ₂ = -1 é (1, -1). Assim, os autovalores e autovetores relacionados à transformação T(x, y) = (x + 2y, 2x + y) são: Autovalores: λ₁ = 3 e λ₂ = -1 Autovetores: (1, 1) e (1, -1) Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.