O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo: T(...

Na transformação T(x, y) = (x + 3y, 4x + 2y), os autovalores e autovetores podem ser encontrados resolvendo o sistema de equações (T - λI)v = 0, onde T é a matriz da transformação, λ é o autovalor e v é o autovetor correspondente. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica det(T - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Nesse caso, a matriz da transformação é: T = |1 3| |4 2| Substituindo os valores na equação característica, temos: det(T - λI) = |1 - λ 3| |4 2 - λ| Calculando o determinante, temos: (1 - λ)(2 - λ) - (3)(4) = λ² - 3λ - 10 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores λ1 = -2 e λ2 = 5. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na equação (T - λI)v = 0 e resolvemos o sistema de equações resultante. Para o autovalor λ1 = -2: (T - (-2)I)v = 0 (T + 2I)v = 0 Substituindo os valores na matriz da transformação, temos: |3 3| |4 4|v = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v1 = (1, -1). Para o autovalor λ2 = 5: (T - 5I)v = 0 Substituindo os valores na matriz da transformação, temos: |-4 3| |4 -3|v = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v2 = (1, 4/3). Portanto, os autovalores relacionados à transformação T são -2 e 5, e os autovetores correspondentes são (1, -1) e (1, 4/3).