(2,0 pontos) Determine e justifique (com uma prova) quais as funções a seguir são Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva: (a) f(x) = −4x+ 3; (b) g(x) = x...

Para determinar se uma função é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, precisamos analisar suas propriedades. (a) f(x) = -4x + 3: - Para verificar se é injetiva, devemos mostrar que f(x1) = f(x2) implica em x1 = x2. Vamos supor que f(x1) = f(x2): - -4x1 + 3 = -4x2 + 3 - -4x1 = -4x2 - Dividindo ambos os lados por -4, temos: - x1 = x2 - Portanto, a função f(x) = -4x + 3 é injetiva. - Para verificar se é sobrejetiva, devemos mostrar que para todo y no contradomínio da função, existe pelo menos um x no domínio tal que f(x) = y. No caso da função f(x) = -4x + 3, o contradomínio é o conjunto dos números reais. Podemos reescrever a função como y = -4x + 3 e resolver para x: - y = -4x + 3 - 4x = 3 - y - x = (3 - y)/4 - Portanto, para todo y real, podemos encontrar um x no domínio tal que f(x) = y. Assim, a função f(x) = -4x + 3 é sobrejetiva. - Por fim, para verificar se é bijetiva, devemos mostrar que a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva. Como já demonstramos que a função é injetiva e sobrejetiva, concluímos que a função f(x) = -4x + 3 é bijetiva. (b) g(x) = (x - 1)/(x + 1): - Para verificar se é injetiva, devemos mostrar que g(x1) = g(x2) implica em x1 = x2. Vamos supor que g(x1) = g(x2): - (x1 - 1)/(x1 + 1) = (x2 - 1)/(x2 + 1) - Multiplicando ambos os lados por (x1 + 1)(x2 + 1), temos: - (x1 - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)(x1 + 1) - Expandindo e simplificando, temos: - x1x2 + x1 - x2 - 1 = x2x1 + x2 - x1 - 1 - Simplificando, temos: - x1 = x2 - Portanto, a função g(x) = (x - 1)/(x + 1) é injetiva. - Para verificar se é sobrejetiva, devemos mostrar que para todo y no contradomínio da função, existe pelo menos um x no domínio tal que g(x) = y. No caso da função g(x) = (x - 1)/(x + 1), o contradomínio é o conjunto dos números reais, exceto -1. Podemos reescrever a função como y = (x - 1)/(x + 1) e resolver para x: - y = (x - 1)/(x + 1) - y(x + 1) = x - 1 - xy + y = x - 1 - xy - x = -y - 1 - x(y - 1) = -y - 1 - x = (-y - 1)/(y - 1) - Portanto, para todo y real, exceto y = 1, podemos encontrar um x no domínio tal que g(x) = y. Assim, a função g(x) = (x - 1)/(x + 1) é sobrejetiva. - No entanto, a função g(x) = (x - 1)/(x + 1) não é bijetiva, pois não é definida para x = -1. Portanto, não é possível encontrar um x no domínio tal que g(x) = -1.