14. (VUNESP-2017) O quadrado da altura de um triângulo equilátero é exatamente 300. O perímetro desse triângulo, em uma determinada unidade de medi...

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula da altura de um triângulo equilátero, que é dada por h = (lado * √3) / 2, onde h é a altura e lado é o comprimento de um dos lados do triângulo. Sabemos que o quadrado da altura é igual a 300, então podemos escrever a equação: h^2 = 300 Substituindo a fórmula da altura, temos: [(lado * √3) / 2]^2 = 300 Simplificando a equação, temos: (lado^2 * 3) / 4 = 300 Multiplicando ambos os lados por 4, temos: lado^2 * 3 = 1200 Dividindo ambos os lados por 3, temos: lado^2 = 400 Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos: lado = √400 lado = 20 Agora que temos o valor do lado, podemos calcular o perímetro do triângulo equilátero, que é dado por P = 3 * lado. P = 3 * 20 P = 60 Portanto, o perímetro desse triângulo é 60. A alternativa correta é a letra A) 60.

Vamos chamar o lado do triângulo equilátero de "l".

Lembrando que as três alturas de um triângulo equilátero são iguais e também são medianas, então a altura é uma mediana e divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Usando o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados pelas metades do triângulo equilátero, temos:

(l/2)^2 + h^2 = l^2

Onde "h" é a altura do triângulo equilátero. Também sabemos que o quadrado da altura é 300:

h^2 = 300

Substituindo o valor de h^2 na primeira equação:

(l/2)^2 + 300 = l^2

Expandindo o lado esquerdo da equação:

l^2/4 + 300 = l^2

Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar o denominador:

l^2 + 1200 = 4l^2

Subtraindo l^2 de ambos os lados:

1200 = 3l^2

Dividindo ambos os lados por 3:

l^2 = 400

Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (já que o lado de um triângulo não pode ser negativo):

l = √400

l = 20

Agora que sabemos o lado do triângulo, podemos encontrar o perímetro, que é a soma dos três lados:

Perímetro = 3 * lado = 3 * 20 = 60 unidades de medida.

Portanto, a resposta corresponde ao item A