Qual é o ângulo formado pelos vetores U=(4,2) e U=(-3,7)?

O ângulo entre dois vetores pode ser calculado usando a fórmula do produto escalar:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{U} \cdot \mathbf{V}}{\|\mathbf{U}\| \|\mathbf{V}\|} \]

Onde \(\mathbf{U}\) e \(\mathbf{V}\) são os vetores em questão, \(\cdot\) denota o produto escalar e \(\|\mathbf{U}\|\) e \(\|\mathbf{V}\|\) são as magnitudes dos vetores.

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores \(\mathbf{U} = (4, 2)\) e \(\mathbf{V} = (-3, 7)\):

\[ \mathbf{U} \cdot \mathbf{V} = (4 \cdot -3) + (2 \cdot 7) = -12 + 14 = 2 \]

Agora, calculemos as magnitudes dos vetores:

\[ \|\mathbf{U}\| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \approx 4.47 \]

\[ \|\mathbf{V}\| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} \approx 7.62 \]

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos:

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{(4.47) \cdot (7.62)} \approx 0.078 \]

Agora, para encontrar o ângulo \(\theta\), podemos usar a função inversa do cosseno (arc-cos):

\[ \theta = \cos^{-1}(0.078) \approx 87.8^\circ \]

Portanto, o ângulo aproximado entre os vetores \(\mathbf{U}\) e \(\mathbf{V}\) é \(87.8\) graus.