Aula 4 (versor de um vetor; vetores paralelos; ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor)

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 4: versor de um vetor; vetores paralelos; ângulos diretores e 
cossenos diretores de um vetor. 
Prof. Luciano Pedroso 
VERSOR DE UM VETOR 
 
Se o vetor 𝑣 não é nulo, o seu versor é um vetor unitário, 
isto é, de comprimento igual a unidade, e que apresenta a 
mesma direção e o mesmo sentido de 𝑣 . 
 
O versor de um vetor 𝑣 é escrito: 
𝑣
𝑣
. 
 
 
VETORES PARALELOS 
 
Se os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2) são 
paralelos, então 
 
𝑢 = α𝑣 
 
ou 
 
𝑢//𝑣 ⇔ 
𝑥1
𝑥2
 = 
𝑦1
𝑦2
 = 
𝑧1
𝑧2
 
 
 
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES 
DE UM VETOR 
 
Seja o vetor 𝑣 = x𝑖 + y𝑗 + z𝑘 
não-nulo. 
 
Ângulos diretores de 𝑣 são os 
ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾 que 𝑣 forma 
com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 , 
respectivamente. 
 
Cossenos diretores de 𝑣 são os 
cossenos de seus ângulos 
diretores, isto é, cos 𝛼, cos 𝛽 e 
cos 𝛾. 
𝑣 
𝑗 𝑖 
𝑘 
z 
y 
x 
𝛼 
𝛽 
𝛾 
Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula: 
 
cos 𝛼 = 
𝑣 ∙ 𝑖 
𝑣 𝑖 
 = 
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 1,0,0
𝑣 (1)
 = 
𝑥
𝑣
 
 
cos 𝛽 = 
𝑣 ∙ 𝑗 
𝑣 𝑗 
 = 
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 0,1,0
𝑣 (1)
 = 
𝑦
𝑣
 
 
cos 𝛾 = 
𝑣 ∙ 𝑘
𝑣 𝑘
 = 
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 0,0,1
𝑣 (1)
 = 
𝑧
𝑣
 
 
Observação: Os cossenos diretores de 𝑣 são precisamente 
as componentes do versor de 𝑣 . 
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES 
DE UM VETOR 
REFERÊNCIAS 
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria 
analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2000.