Questão 2: (2,0 pontos) Prove, utilizando o Prinćıpio da Indução Finita, que (1− 1/4)(1− 1/9)(1− 1/16)...(1− 1/n^2) = (n + 1)/2n, para todo int...

Para provar essa igualdade utilizando o Princípio da Indução Finita, precisamos seguir os passos do método. Vamos lá: 1. Base da indução: Verifique se a igualdade é verdadeira para o valor mínimo de n. No caso, n = 2. Substituindo na fórmula, temos: (1 - 1/4) = (2 + 1)/(2 * 2) 3/4 = 3/4 A igualdade é verdadeira para n = 2. 2. Hipótese da indução: Assumimos que a igualdade é verdadeira para um valor k qualquer, ou seja: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2) = (k + 1)/(2k) 3. Passo da indução: Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k + 1. Multiplicando a hipótese da indução por (1 - 1/(k+1)^2), temos: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2)(1 - 1/(k+1)^2) = (k + 1)/(2k) * (1 - 1/(k+1)^2) Agora, vamos simplificar essa expressão: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2)(1 - 1/(k+1)^2) = (k + 1)/(2k) * ((k+1)^2 - 1)/(k+1)^2 Multiplicando os termos e simplificando, temos: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2)(1 - 1/(k+1)^2) = (k + 1)/(2k) * (k^2 + 2k)/(k+1)^2 Agora, vamos simplificar ainda mais: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2)(1 - 1/(k+1)^2) = (k + 1)/(2k) * (k(k + 2))/(k+1)^2 Podemos cancelar o fator (k+1) em ambos os lados da igualdade: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/k^2)(1 - 1/(k+1)^2) = (k + 2)/(2k) Portanto, a igualdade é verdadeira para k + 1. Concluímos, então, que a igualdade é válida para todo inteiro n ≥ 2, utilizando o Princípio da Indução Finita.