Questão 2: (2,0 pontos) Prove usando o Prinćıpio de Indução a seguinte afirmação: 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ...n · n! = (n + 1)!− 1, para to...

Para provar essa afirmação usando o Princípio de Indução, precisamos seguir os passos do método. Vamos lá: 1. Base da indução: Verifique se a afirmação é verdadeira para o valor inicial, que é n = 1. Substituindo n = 1 na fórmula, temos: 1 · 1! = (1 + 1)! - 1 1 = 2 - 1 1 = 1 A afirmação é verdadeira para n = 1. 2. Hipótese de indução: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor k qualquer, ou seja: 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + k · k! = (k + 1)! - 1 3. Passo da indução: Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1. Substituindo n = k + 1 na fórmula, temos: 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + k · k! + (k + 1) · (k + 1)! = ((k + 1) + 1)! - 1 Usando a hipótese de indução, podemos substituir a soma até k: (k + 1)! - 1 + (k + 1) · (k + 1)! = ((k + 1) + 1)! - 1 Fatorando (k + 1)! em comum: [(k + 1)! - 1] + (k + 1) · (k + 1)! = (k + 2)! - 1 [(k + 1) + (k + 1)] · (k + 1)! = (k + 2)! - 1 (2k + 2) · (k + 1)! = (k + 2)! - 1 Simplificando o fatorial: (2k + 2) · (k + 1)! = (k + 2)(k + 1)! - 1 (2k + 2) = (k + 2) - 1 2k + 2 = k + 1 k = -1 No entanto, chegamos a uma contradição, pois k não pode ser um número negativo. Portanto, a afirmação não é verdadeira para k + 1. Concluímos que a afirmação não é válida para todo n ∈ N.