(1.0) (a) Mostre, por indução finita, que
1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
.
(1.0) (b) Seja (an)n≥1 progressão geome...

Question

(1.0) (a) Mostre, por indução finita, que
1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
.
(1.0) (b) Seja (an)n≥1 progressão geométrica com termo inicial a1 positivo e razão r > 1, e Sn a soma dos n primeiros termos da progressão. Prove, por indução finita, que Sn ≤ r/(r−1) an, para qualquer n ≥ 1.

(a) Mostre, por indução finita, que
1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
.
(b) Seja (an)n≥1 progressão geométrica com termo inicial a1 positivo e razão r > 1, e Sn a soma dos n primeiros termos da progressão. Prove, por indução finita, que Sn ≤ r/(r−1) an, para qualquer n ≥ 1.

Ed · Answer

(a) Vamos provar por indução finita que a fórmula é válida para todo n natural.
- Passo base: Para n = 1, temos que 1 · 3^0 = 1 e (2 · 1 - 1) · 3^1 + 1 / 4 = 1, que são iguais.
- Passo de indução: Suponha que a fórmula é válida para um certo n = k, ou seja, 1 · 3^0 + 2 · 3^1 + ... + k · 3^(k-1) = (2k - 1) · 3^k + 1 / 4.
Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1:
1 · 3^0 + 2 · 3^1 + ... + k · 3^(k-1) + (k + 1) · 3^k = (2k - 1) · 3^k + 1 / 4 + (k + 1) · 3^k
= (2k - 1 + 4(k + 1)) · 3^k + 1 / 4
= (2k + 3) · 3^k + 1 / 4
= (2(k + 1) - 1) · 3^(k + 1) + 1 / 4
Portanto, a fórmula é válida para todo n natural.

(b) Vamos provar por indução finita que Sn ≤ r / (r - 1) · an para todo n natural.
- Passo base: Para n = 1, temos que S1 = a1 e r / (r - 1) · a1 = a1, que são iguais.
- Passo de indução: Suponha que a fórmula é válida para um certo n = k, ou seja, Sk ≤ r / (r - 1) · ak.
Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1:
S(k + 1) = Sk + ak+1 ≤ r / (r - 1) · ak + ak+1
= r / (r - 1) · ak+1
= r / (r - 1) · a(k + 1)
Portanto, a fórmula é válida para todo n natural.

(1.0) (a) Mostre, por indução finita, que 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 = (2n− 1)3n + 1 4 . (1.0) (b) Seja (an)n≥1 progressão geome...

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