Grátis: (1.0) (a) Mostre, por indução finita, que 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 = (2n− 1)3n + 1 4 . (1.0) (b) Seja (an)n≥1 progressão geome...

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(1.0) (a) Mostre, por indução finita, que
1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
.
(1.0) (b) Seja (an)n≥1 progressão geométrica com termo inicial a1 positivo e razão r > 1, e Sn a soma dos n primeiros termos da progressão. Prove, por indução finita, que Sn ≤ r/(r−1) an, para qualquer n ≥ 1.

(a) Mostre, por indução finita, que
1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
.
(b) Seja (an)n≥1 progressão geométrica com termo inicial a1 positivo e razão r > 1, e Sn a soma dos n primeiros termos da progressão. Prove, por indução finita, que Sn ≤ r/(r−1) an, para qualquer n ≥ 1.

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(a) Vamos provar por indução finita que a fórmula é válida para todo n natural. - Passo base: Para n = 1, temos que 1 · 3^0 = 1 e (2 · 1 - 1) · 3^1 + 1 / 4 = 1, que são iguais. - Passo de indução: Suponha que a fórmula é válida para um certo n = k, ou seja, 1 · 3^0 + 2 · 3^1 + ... + k · 3^(k-1) = (2k - 1) · 3^k + 1 / 4. Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1: 1 · 3^0 + 2 · 3^1 + ... + k · 3^(k-1) + (k + 1) · 3^k = (2k - 1) · 3^k + 1 / 4 + (k + 1) · 3^k = (2k - 1 + 4(k + 1)) · 3^k + 1 / 4 = (2k + 3) · 3^k + 1 / 4 = (2(k + 1) - 1) · 3^(k + 1) + 1 / 4 Portanto, a fórmula é válida para todo n natural. (b) Vamos provar por indução finita que Sn ≤ r / (r - 1) · an para todo n natural. - Passo base: Para n = 1, temos que S1 = a1 e r / (r - 1) · a1 = a1, que são iguais. - Passo de indução: Suponha que a fórmula é válida para um certo n = k, ou seja, Sk ≤ r / (r - 1) · ak. Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1: S(k + 1) = Sk + ak+1 ≤ r / (r - 1) · ak + ak+1 = r / (r - 1) · ak+1 = r / (r - 1) · a(k + 1) Portanto, a fórmula é válida para todo n natural.

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Calcule as seguintes expressões:
(1,0) (a) logn[logn(n^(1/2) * n^(1/3))]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.

Seja f : R→ R uma função crescente, tal que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmações:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1), a função g : R → R definida por g(x) = loga f(x) é linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g é a função definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.

24h após sua administração, a quantidade de uma droga no sangue

(1,0) (a) é dada por Q(t) = Q0e^(-kt), onde Q0 é a quantidade inicial da droga, k é uma constante de decaimento e t é o tempo em horas.
(1,0) (b) Se a meia-vida da droga é de 8 horas, qual é a constante de decaimento k?
(1,0) (c) Se a quantidade inicial da droga é de 100mg, qual será a quantidade de droga no sangue 48h após sua administração?

(a) Um medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h após a administração? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue é exponencial.
(b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual é a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose?

(a) O medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial.
(b) É necessário calcular em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial.
(c) É necessário calcular a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose de 10mg, considerando que a mesma droga foi administrada em duas doses com um intervalo de 12h.

(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.

(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.

Calcule as seguintes expressões:
(a) logn[logn(n^(1/2))^(1/2)]
(b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.

(a) É necessário calcular a expressão logn[logn(n^(1/2))^(1/2)].
(b) É necessário calcular a expressão xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.

(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.

(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.

No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do poço decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula s = g2t2 do espaço percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.

(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v².

Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = −x seja qual for x.

f(x) = x para todo x
f(x) = -x para todo x

Dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, consideremos as funções afins g(x) = mx + t, onde m é fixo e t será escolhido convenientemente. Prove que existe uma (única) escolha de t para a qual a equação f(x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x. Interprete este fato geometricamente em termos dos gráficos de f e g.

Existe uma única escolha de t para a qual a equação f(x) = g(x) tem uma raiz x
Existe uma única escolha de t para a qual a equação f(x) = g(x) tem somente uma raiz x
O fato de existir uma única escolha de t para a qual a equação f(x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x pode ser interpretado geometricamente como a interseção de uma parábola com uma reta

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Calcule as seguintes expressões:(1,0) (a) logn[logn(n^(1/2) * n^(1/3))](1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.

Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = −x seja qual for x.f(x) = x para todo xf(x) = -x para todo x

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(1,0) (a) logn[logn(n^(1/2) * n^(1/3))]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.

Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = −x seja qual for x.

f(x) = x para todo x
f(x) = -x para todo x