EXERCITANDO 2 Mostre que para qualquer número natural n temos que 6|n(n+1)(2n+1). O resultado vale para n=0 pois 6 / 0(0+1)(0+1); Se vale o resulta...

Para mostrar que para qualquer número natural n temos que 6 é divisível por n(n+1)(2n+1), podemos utilizar o método de indução matemática. Primeiro, vamos verificar se o resultado vale para n = 0: Para n = 0, temos 6 | 0(0+1)(2*0+1), o que é verdadeiro, pois 6 é divisível por 0. Agora, vamos assumir que o resultado vale para n = k, ou seja, 6 | k(k+1)(2k+1), onde k é um número natural qualquer. Agora, vamos provar que o resultado também vale para n = k+1: Para n = k+1, temos que mostrar que 6 | (k+1)(k+2)(2(k+1)+1). Podemos expandir essa expressão: (k+1)(k+2)(2(k+1)+1) = (k+1)(k+2)(2k+3) = 2k³ + 9k² + 13k + 6 Agora, vamos utilizar a hipótese de indução: Sabemos que k(k+1)(2k+1) é divisível por 6, ou seja, k(k+1)(2k+1) = 6q, onde q é um número natural. Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: 2k³ + 9k² + 13k + 6 = 6q + 6k² + 12k + 6 = 6(q + k² + 2k + 1) Portanto, podemos concluir que (k+1)(k+2)(2k+3) é divisível por 6. Assim, utilizando o método de indução matemática, mostramos que para qualquer número natural n, temos que 6 é divisível por n(n+1)(2n+1).