Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea y′′+4y′+4y=0 e as condições iniciais y(0)=2ey′(0)=1 , podemos afirmar que a equaç...

Para resolver essa equação diferencial de segunda ordem homogênea, podemos usar o método do operador diferencial. Primeiro, encontramos a equação característica, que é dada por r^2 + 4r + 4 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos uma raiz dupla r = -2. A solução geral da equação diferencial é dada por y(t) = (C1 + C2t)e^(-2t), onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Usando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 1, podemos substituir esses valores na solução geral e resolver o sistema de equações para encontrar os valores de C1 e C2. Substituindo y(0) = 2, temos 2 = C1. Substituindo y'(0) = 1, temos 1 = -2C1 + C2. Resolvendo esse sistema de equações, encontramos C1 = 2 e C2 = 5. Portanto, a equação que fornece a solução de valor inicial é y(t) = 2e^(-2t) + 5te^(-2t), que corresponde à opção a. y = 2e^(-2t) + 5te^(-2t).