Use o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular da equação diferencial y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0. Encontr...

Para encontrar a solução particular da equação diferencial y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0, usando o método de variação dos parâmetros, siga os seguintes passos: 1. Encontre a solução homogênea da equação diferencial, que é yh(t) = c1e^(-2t) + c2te^(-2t). 2. Encontre as derivadas de primeira e segunda ordem da solução homogênea, que são yh'(t) = -2c1e^(-2t) - 2c2e^(-2t) + c2e^(-2t) = -2c1e^(-2t) - c2e^(-2t) e yh''(t) = 4c1e^(-2t) + 4c2e^(-2t) - 2c2e^(-2t) = 4c1e^(-2t) + 2c2e^(-2t). 3. Substitua as derivadas encontradas no passo anterior na equação diferencial original, obtendo 4c1e^(-2t) + 2c2e^(-2t) + 4(-2c1e^(-2t) - c2e^(-2t)) + 4(c1e^(-2t) + c2te^(-2t)) = t - 2e^(-2t). 4. Simplifique a equação obtida no passo anterior, agrupando os termos semelhantes e isolando os coeficientes c1'(t) e c2'(t), obtendo c1'(t) = (1/6)t^3e^(2t) e c2'(t) = (-1/2)e^(2t). 5. Integre os coeficientes c1'(t) e c2'(t) encontrados no passo anterior, obtendo c1(t) = (1/6)e^(-2t)(t^3 - 9t^2 + 18t - 18) e c2(t) = (-1/4)e^(-2t)(t^2 - 2t + 2). 6. Substitua os coeficientes c1(t) e c2(t) na solução homogênea, obtendo a solução particular da equação diferencial, que é yp(t) = (1/6)t^3 - (1/2)e^(-2t). 7. Escreva a solução geral da equação diferencial, que é y(t) = yh(t) + yp(t) = c1e^(-2t) + c2te^(-2t) + (1/6)t^3 - (1/2)e^(-2t).