4. Muitas vezes é necessário usar a derivação implícita juntamente com a regra da cadeia. Encontre ???????? ???????? por derivação implícita de cos(xy)=2y....

Para encontrar as derivadas parciais de x e y em relação a cos(xy) = 2y por derivação implícita, podemos seguir os seguintes passos: 1. Diferencie ambos os lados da equação em relação a x: - Diferenciando cos(xy) em relação a x, obtemos: -sen(xy) * (y + xy') = 0. - Diferenciando 2y em relação a x, obtemos: 0. 2. Diferencie ambos os lados da equação em relação a y: - Diferenciando cos(xy) em relação a y, obtemos: -sen(xy) * (x + xy') = 2. - Diferenciando 2y em relação a y, obtemos: 2. Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas parciais: - Para a derivada parcial em relação a x: - -sen(xy) * (y + xy') = 0. - Isolando xy', temos: xy' = -y. - Dividindo ambos os lados por x, obtemos: y' = -y/x. - Para a derivada parcial em relação a y: - -sen(xy) * (x + xy') = 2. - Substituindo xy' por -y, temos: -sen(xy) * (x - y) = 2. - Dividindo ambos os lados por -sen(xy), obtemos: x - y = -2/sen(xy). - Isolando y, temos: y = x + 2/sen(xy). Portanto, as derivadas parciais são: - ∂x/∂(cos(xy)) = -y/x. - ∂y/∂(cos(xy)) = x + 2/sen(xy).