Sejam os vetores u = (1, −1, 0), v = (2, 1, −1) e w = (x, y, z). (a) Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores {u, v, w} gerem o ...

Para que os vetores {u, v, w} gerem o espaço ℝ³, é necessário que eles sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. No caso, temos os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, -1). Agora, vamos analisar o vetor w = (x, y, z). Para que w seja linearmente independente de u e v, ele não pode ser um múltiplo escalar de nenhum desses vetores. Portanto, as componentes de w não podem ser proporcionais às componentes de u ou v. Assim, podemos escolher qualquer valor para x, y e z, desde que eles não satisfaçam a relação de proporcionalidade com as componentes de u e v. Portanto, as componentes do vetor w podem ser quaisquer valores de x, y e z, desde que eles não sejam proporcionais às componentes de u e v.