1.(2.0) Sejam os vetores u = (−1, 0, 0), v = (1, 0, 2) e w = (x, y, z). (a) Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores {u, v, w} g...

(a) Para que os vetores {u, v, w} gerem o espaço S = {(x, 0, z)} ⊆ IR3, o vetor w deve ter a forma (0, y, z), pois a segunda componente de w deve ser zero para que o vetor resultante esteja contido no plano xz. Portanto, as componentes do vetor w são (0, y, z). (b) Para verificar se os vetores {u, v, w} são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, eles são linearmente dependentes. | -1 1 2 | | 0 0 0 | | 0 2 -2 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: det = -1 * 0 * (-2) + 1 * 0 * 0 + 2 * 0 * 0 = 0 Como o determinante é igual a zero, os vetores {u, v, w} são linearmente dependentes. Para encontrar uma base do espaço S, basta encontrar um vetor que seja linearmente independente dos vetores u e v e que esteja contido no plano xz. Um vetor que satisfaz essas condições é (0, 1, 0). Portanto, uma base do espaço S é {u, v, (0, 1, 0)}. A dimensão do espaço S é 3.