Sejam os vetores u = (1; −1; 0), v = (2; 1; −1) e w = (x; y; z). (a) Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores fu; v; wg gerem o ...

(a) Para que os vetores u, v e w gerem o espaço ℝ³, é necessário que eles sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Portanto, para determinar as componentes do vetor w, precisamos encontrar valores para x, y e z que satisfaçam essa condição. Podemos escrever a seguinte equação: x * u + y * v + z * w = 0 Substituindo os valores dos vetores u, v e w, temos: x * (1, -1, 0) + y * (2, 1, -1) + z * (x, y, z) = (0, 0, 0) Resolvendo essa equação, obtemos um sistema de equações: x + 2y + zx = 0 -x + y + zy = 0 z - y = 0 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x, y e z. A solução é: x = 1 y = 1 z = 1 Portanto, as componentes do vetor w são (1, 1, 1). (b) Para determinar a projeção ortogonal de w sobre v (P rojvw), podemos usar a fórmula: P rojvw = (w · v) / ||v||² * v Onde · representa o produto escalar e ||v|| representa a norma do vetor v. Calculando o produto escalar: w · v = (1 * 2) + (1 * 1) + (1 * -1) = 2 + 1 - 1 = 2 Calculando a norma de v: ||v|| = √(2² + 1² + (-1)²) = √6 Substituindo esses valores na fórmula, temos: P rojvw = (2 / 6) * (2, 1, -1) = (2/3, 1/3, -1/3) Portanto, a projeção ortogonal de w sobre v é (2/3, 1/3, -1/3). (c) Para determinar uma base ortogonal para ℝ³ a partir dos vetores u, v e w, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. O processo consiste em encontrar vetores ortogonais a partir dos vetores dados. Primeiro, normalizamos o vetor u: u' = u / ||u|| = (1, -1, 0) / √(1² + (-1)² + 0²) = (1/√2, -1/√2, 0) Em seguida, encontramos o vetor v' ortogonal a u': v' = v - (v · u') * u' = (2, 1, -1) - ((2 * 1/√2) + (1 * -1/√2) + (-1 * 0)) * (1/√2, -1/√2, 0) = (2, 1, -1) - (1/√2 - 1/√2) * (1/√2, -1/√2, 0) = (2, 1, -1) - 0 * (1/√2, -1/√2, 0) = (2, 1, -1) Agora, temos dois vetores ortogonais u' e v'. Podemos normalizar o vetor v': v'' = v' / ||v'|| = (2, 1, -1) / √(2² + 1² + (-1)²) = (2/√6, 1/√6, -1/√6) Portanto, uma base ortogonal para ℝ³ a partir dos vetores u, v e w é {(1/√2, -1/√2, 0), (2/√6, 1/√6, -1/√6)}. (d) Para verificar se os vetores u, v e w são linearmente independentes, podemos formar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. A matriz formada pelos vetores u, v e w é: | 1 2 1 | |-1 1 0 | | 0 -1 -2 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: det = 1 * (1 * (-2) - 0 * (-1)) - 2 * (-1 * (-2) - 0 * 0) + 1 * (-1 * (-1) - (-1) * 0) = 1 * (-2) - 2 * (-2) + 1 * (-1) = -2 + 4 - 1 = 1 Como o determinante é diferente de zero, os vetores u, v e w são linearmente independentes. Para determinar o espaço S gerado pelos vetores u, v e w, podemos escrever todas as combinações lineares desses vetores. O espaço S é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis. S = {a * u + b * v + c * w | a, b, c ∈ ℝ} (e) Para determinar uma base e a dimensão do espaço S, podemos verificar se os vetores u, v e w são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para o espaço S. Caso contrário, precisamos encontrar uma combinação linear desses vetores que seja igual a zero. Já verificamos anteriormente que os vetores u, v e w são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para o espaço S. A dimensão do espaço S é igual ao número de vetores na base, que é 3. Portanto, a dimensão do espaço S é 3.