Sejam os vetores u = (−1, 0, 0), v = (1, 0, 2) e w = (x, y, z). (a) Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores {u, v, w} gerem o ...

(a) Para que os vetores {u, v, w} gerem o espaço S = {(x, 0, z)}, o vetor w deve ter a forma (0, y, z), pois a segunda componente de w deve ser zero para que o vetor resultante esteja contido no plano xz. Portanto, temos que w = (0, y, z). Para que {u, v, w} gerem S, eles devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço S. Como u e v são linearmente independentes, podemos encontrar w como uma combinação linear de u e v. Assim, temos que w = au + bv + cw, onde a, b e c são constantes. Substituindo os valores dos vetores, temos: (0, y, z) = a(-1, 0, 0) + b(1, 0, 2) + c(0, 1, 0) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: - a + b = 0 - 2b = z - c = y Resolvendo esse sistema, obtemos a = b = 0 e c = y. Portanto, as componentes do vetor w são (0, y, z), onde y e z são quaisquer números reais. (b) Para verificar se os vetores {u, v, w} são linearmente independentes, podemos colocá-los em uma matriz e calcular o determinante: | -1 1 2 | | 0 0 0 | | 0 2 -2 | Calculando o determinante, obtemos: det({u, v, w}) = -2 Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Para encontrar uma base para o espaço S, podemos observar que ele é gerado pelo vetor (x, 0, z), onde x e z são quaisquer números reais. Portanto, uma base para S é {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}. A dimensão do espaço S é 2.