Questão 2: (2.5 pontos) Considere a função f(x, y) = ex2 −xy+y2 . (a) Indique a direção que determina a maior taxa de crescimento de f no pont...

(a) Para determinar a direção que resulta na maior taxa de crescimento de f no ponto (1, 0), podemos calcular o gradiente de f no ponto dado e encontrar a direção em que o gradiente é máximo. O gradiente de f(x, y) é dado por: ∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) Calculando as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e y, temos: ∂f/∂x = 2xe^(x^2 - xy + y^2) - y ∂f/∂y = -x + 2ye^(x^2 - xy + y^2) Agora, substituindo o ponto (1, 0) nas derivadas parciais, temos: ∂f/∂x(1, 0) = 2e - 0 = 2e ∂f/∂y(1, 0) = -1 + 2(0)e^0 = -1 Portanto, o gradiente de f no ponto (1, 0) é (∂f/∂x(1, 0), ∂f/∂y(1, 0)) = (2e, -1). A direção que resulta na maior taxa de crescimento de f no ponto (1, 0) é a direção do vetor gradiente, ou seja, a direção é (2e, -1). (b) Para calcular a derivada direcional de f na direção (1, 1) no ponto (1, 0), podemos usar a fórmula da derivada direcional: D_vf(x, y) = ∇f(x, y) · v Onde ∇f(x, y) é o gradiente de f(x, y) e v é o vetor unitário na direção desejada. No caso, o vetor unitário na direção (1, 1) é dado por: v = (1/√2, 1/√2) Agora, substituindo o ponto (1, 0) e o vetor v na fórmula da derivada direcional, temos: D_vf(1, 0) = ∇f(1, 0) · v = (2e, -1) · (1/√2, 1/√2) = (2e/√2) + (-1/√2) = (2e - 1)/√2 Portanto, a derivada direcional de f na direção (1, 1) no ponto (1, 0) é (2e - 1)/√2. (c) Para calcular g'(0), precisamos encontrar a derivada de g(t) em relação a t e, em seguida, substituir t = 0. Primeiro, vamos encontrar a função composta g(t) = f(r(t)): g(t) = f(r(t)) = f(1 + t√2, t√2) Agora, vamos calcular a derivada de g(t) em relação a t: g'(t) = ∂f/∂x(r(t)) * ∂r/∂t + ∂f/∂y(r(t)) * ∂r/∂t Substituindo as derivadas parciais de f(x, y) e r(t), temos: g'(t) = (2(1 + t√2)e^((1 + t√2)^2 - (1 + t√2)(t√2) + (t√2)^2) - (t√2)) * √2 + (-1 + 2(t√2)e^((1 + t√2)^2 - (1 + t√2)(t√2) + (t√2)^2)) * √2 Agora, substituindo t = 0 na expressão acima, temos: g'(0) = (2e - 0) * √2 + (-1 + 2(0)e^0) * √2 = 2e√2 - √2 Portanto, g'(0) = 2e√2 - √2.