Questão 2: (2.5 pontos) (a) Encontre a solução da EDO: ty′ + y = 2t sin(2t), t > 0 (b) Considere um sistema oscilatório descrito pelo problema ...

(a) Para encontrar a solução da EDO ty' + y = 2t sin(2t), podemos usar o método da variação dos parâmetros. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea ty' + y = 0, que é yh(t) = c1/t. Em seguida, procuramos uma solução particular yp(t) da equação completa, assumindo que yp(t) = u(t)/t, onde u(t) é uma função a ser determinada. Substituindo na equação, temos: t(u'/t) + u/t = 2t sin(2t) u' + u = 2sin(2t) Agora, podemos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral da equação homogênea associada é u(t) = c2e^(-t). Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos que u(t) = A sin(2t) + B cos(2t), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo na equação, temos: A cos(2t) - B sin(2t) + A sin(2t) + B cos(2t) = 2sin(2t) 2A cos(2t) = 2sin(2t) Comparando os coeficientes, temos A = 1/2 e B = 0. Portanto, uma solução particular é u(t) = (1/2)sin(2t). A solução geral da equação completa é dada por yp(t) = (1/2)sin(2t)/t. Portanto, a solução da EDO é y(t) = c1/t + (1/2)sin(2t)/t, onde c1 é uma constante a ser determinada. (b) Para resolver o problema de valor inicial x''(t) + x(t) = e^(2t), x(0) = 0 e x'(0) = 12/5, podemos usar o método da função de Green. A função de Green G(t, τ) é a solução da equação x''(t) + x(t) = δ(t - τ), onde δ(t - τ) é a função delta de Dirac. A solução geral da equação homogênea associada é xh(t) = c1cos(t) + c2sin(t). Para encontrar a função de Green, consideramos a equação x''(t) + x(t) = δ(t - τ) e aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Obtemos: s^2X(s) - sx(0) - x'(0) + X(s) = e^(2τ) (s^2 + 1)X(s) = e^(2τ) + s(12/5) Resolvendo para X(s), temos: X(s) = (e^(2τ) + s(12/5))/(s^2 + 1) Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos a função de Green: G(t, τ) = (1/5)e^τsin(t - τ) A solução do problema de valor inicial é dada por: x(t) = ∫[0 até t] G(t, τ)e^(2τ)dτ Substituindo a função de Green, temos: x(t) = (1/5)∫[0 até t] e^τsin(t - τ)e^(2τ)dτ Infelizmente, a integral não pode ser resolvida de forma direta. Seria necessário utilizar técnicas de integração, como integração por partes ou substituição trigonométrica, para resolver essa integral.