As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de t...

Para determinar a derivada direcional da função f(x, y, z) = xy + y^2z^3 + 2z no ponto P = (7, -2, 1) na direção do vetor v = (2, 2, 1), podemos utilizar a fórmula da derivada direcional: Df(P, v) = ∇f(P) · v Onde ∇f(P) é o gradiente da função f no ponto P e · representa o produto escalar. Primeiro, calculamos o gradiente de f: ∇f(P) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = y ∂f/∂y = x + 2yz^3 ∂f/∂z = y^2 * 3z^2 Agora, substituímos as coordenadas do ponto P na função: ∇f(P) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (-2, 7 + 2*(-2)*(1)^3, (-2)^2 * 3*(1)^2) = (-2, 3, 12) Em seguida, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção v: Df(P, v) = ∇f(P) · v = (-2, 3, 12) · (2, 2, 1) = -4 + 6 + 12 = 14 Portanto, a derivada direcional da função f no ponto P = (7, -2, 1) na direção do vetor v = (2, 2, 1) é igual a 14.