As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de t...

Para determinar a derivada direcional da função f(x, y, z) = xy + y^2z^2 + 2z no ponto P = (7, -2, 1) na direção do vetor v = (2, 2, 1), podemos utilizar a fórmula da derivada direcional: Df(P, v) = ∇f(P) · v Onde ∇f(P) é o gradiente da função f no ponto P e · representa o produto escalar. Calculando o gradiente de f no ponto P: ∇f(P) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) Calculando as derivadas parciais de f em relação a x, y e z: ∂f/∂x = y ∂f/∂y = x + 2yz^2 ∂f/∂z = 2y^2z Substituindo as coordenadas do ponto P: ∇f(P) = (−2, 7 + 2(−2)(1)^2, 2(−2)^2(1)) = (−2, 7 − 4, −8) = (−2, 3, −8) Agora, calculando o produto escalar entre ∇f(P) e o vetor v: Df(P, v) = ∇f(P) · v = (−2, 3, −8) · (2, 2, 1) = −4 + 6 − 8 = −6 Portanto, a derivada direcional de f no ponto P = (7, -2, 1) na direção do vetor v = (2, 2, 1) é igual a -6.