Q2) Admita que o atendimento, em minutos, num caixa de um banco seja uma v.a. T , com densidade f(t) = 0, 25te−0,5t, t ≥ 0 e f(t) = 0, t < 0. (a) M...

(a) Para mostrar que f(t) é uma função de densidade, precisamos verificar duas condições: 1. A função f(t) deve ser não negativa para todos os valores de t. No caso, f(t) = 0,25te^(-0,5t) é não negativa para t ≥ 0, pois o termo t é sempre não negativo e o termo e^(-0,5t) também é não negativo para qualquer valor de t. 2. A integral da função f(t) em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral: ∫[0,∞] 0,25te^(-0,5t) dt Podemos resolver essa integral por partes, utilizando a regra de integração por partes: u = t (diferencial: du = dt) dv = 0,25e^(-0,5t) dt (integrando: v = -2e^(-0,5t)) Aplicando a regra de integração por partes, temos: ∫[0,∞] 0,25te^(-0,5t) dt = -0,5te^(-0,5t) - ∫[0,∞] -0,5e^(-0,5t) dt = -0,5te^(-0,5t) + 2e^(-0,5t) |[0,∞] Agora, vamos calcular os limites da integral: lim t→∞ -0,5te^(-0,5t) + 2e^(-0,5t) - (-0,5(0)e^(-0,5(0)) + 2e^(-0,5(0))) lim t→∞ -0,5te^(-0,5t) + 2e^(-0,5t) - 0 + 2 lim t→∞ -0,5te^(-0,5t) + 2e^(-0,5t) + 2 Agora, vamos calcular o limite quando t tende a infinito: lim t→∞ -0,5te^(-0,5t) = 0 (pois o termo e^(-0,5t) tende a zero mais rapidamente do que t cresce) Portanto, a integral se torna: lim t→∞ -0,5te^(-0,5t) + 2e^(-0,5t) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 Portanto, a integral da função f(t) em todo o seu domínio é igual a 2, o que não satisfaz a condição de ser igual a 1. Portanto, f(t) não é uma função de densidade. (b) Como f(t) não é uma função de densidade, não podemos calcular a função de distribuição acumulada F(t) nem a probabilidade P(T > 2) com base nessa função. (c) A função f(x) = 2e^(-2x) é uma função de densidade, pois satisfaz as duas condições mencionadas anteriormente. Para calcular P(X > 2), podemos usar a função de distribuição acumulada F(x): P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - F(2) Para calcular P(2 < X ≤ 3), podemos usar a função de distribuição acumulada F(x): P(2 < X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = F(3) - F(2) Infelizmente, não temos a função de distribuição acumulada F(x) fornecida na pergunta, então não podemos calcular essas probabilidades específicas.