Suponha que X seja uma v.a. discreta que assume valores no conjuntos dos inteiros não negativos {0, 1, 2, . . .} com função de probabilidades da...

(a) Para encontrar o valor da constante c, é necessário usar a propriedade de que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Assim, temos: ∑ P{X = k} = 1 ∑ c2−k = 1 c∑ 2−k = 1 c(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = 1 c = 1/(1 + 1/2 + 1/4 + ...) c = 1/(1 - 1/2) c = 2 Portanto, o valor da constante c é 2. (b) Para calcular a probabilidade de X ser maior ou igual a 10, é necessário somar as probabilidades de X ser igual a 10, 11, 12, ... e assim por diante. Como a função de probabilidades é dada por P{X = k} = c2−k, temos: P{X ≥ 10} = ∑ P{X = k}, k = 10, 11, 12, ... P{X ≥ 10} = ∑ c2−k, k = 10, 11, 12, ... P{X ≥ 10} = c2−10 + c2−11 + c2−12 + ... P{X ≥ 10} = 2−10 + 2−11 + 2−12 + ... P{X ≥ 10} = (1/1024) + (1/2048) + (1/4096) + ... P{X ≥ 10} = 1/512 Portanto, a probabilidade de X ser maior ou igual a 10 é 1/512. (c) Para calcular a probabilidade de X ser par, é necessário somar as probabilidades de X ser 0, 2, 4, 6, ... e assim por diante. Como a função de probabilidades é dada por P{X = k} = c2−k, temos: P{X é par} = ∑ P{X = k}, k = 0, 2, 4, 6, ... P{X é par} = ∑ c2−k, k = 0, 2, 4, 6, ... P{X é par} = c2^0 + c2−2 + c2−4 + c2−6 + ... P{X é par} = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... P{X é par} = 4/3 Portanto, a probabilidade de X ser par é 4/3. (d) A função S(x) = P{X > x} é a probabilidade de X ser maior do que um determinado valor x. Para encontrar uma expressão para S(x), podemos usar a função de probabilidades: S(x) = P{X > x} = ∑ P{X = k}, k = x + 1, x + 2, x + 3, ... S(x) = ∑ c2−k, k = x + 1, x + 2, x + 3, ... S(x) = c2−(x+1) + c2−(x+2) + c2−(x+3) + ... S(x) = 2−(x+1) + 2−(x+2) + 2−(x+3) + ... S(x) = 2−x − 2−(x+1) + 2−(x+1) − 2−(x+2) + 2−(x+2) − 2−(x+3) + ... S(x) = 2−x Portanto, a expressão para a função S(x) é S(x) = 2−x. O gráfico de S(x) é uma reta decrescente que começa no ponto (0, 1) e vai até o ponto (infinito, 0). A relação entre S(x) e a função de distribuição acumulada F é que S(x) = 1 - F(x).