Considere a v.a. X cuja função de probabilidade é dada por X -3 1 3 5 P(X=x) 1/8 1/6 1/2 p a) Encontre o valor de p, a esperança matemática e ...

a) Para encontrar o valor de p, podemos somar as probabilidades de todos os valores possíveis de X e igualar a 1: 1/8 + 1/6 + 1/2 + p = 1 Simplificando a equação, temos: 3/24 + 4/24 + 12/24 + p = 1 19/24 + p = 1 p = 1 - 19/24 p = 5/24 Portanto, o valor de p é 5/24. Para calcular a esperança matemática (E[X]), multiplicamos cada valor possível de X pela sua respectiva probabilidade e somamos os resultados: E[X] = (-3)*(1/8) + 1*(1/6) + 3*(1/2) + 5*(5/24) E[X] = -3/8 + 1/6 + 3/2 + 25/24 E[X] = -9/24 + 4/24 + 36/24 + 25/24 E[X] = 56/24 E[X] = 7/3 Portanto, a esperança matemática da v.a. X é 7/3. Para calcular o desvio padrão (σ), primeiro precisamos calcular a variância (σ²). A fórmula da variância é: σ² = E[(X - E[X])²] Substituindo os valores, temos: σ² = ( (-3 - 7/3)² * 1/8 ) + ( (1 - 7/3)² * 1/6 ) + ( (3 - 7/3)² * 1/2 ) + ( (5 - 7/3)² * 5/24 ) Calculando cada termo e somando, encontramos: σ² = 1/72 + 4/72 + 4/9 + 25/72 σ² = 34/72 σ² = 17/36 Finalmente, o desvio padrão (σ) é a raiz quadrada da variância: σ = √(17/36) σ ≈ 0,654 Portanto, o desvio padrão da v.a. X é aproximadamente 0,654. b) Para determinar a função de probabilidade da v.a. Y = X², precisamos encontrar a probabilidade de cada valor possível de Y. Como Y é o quadrado de X, temos: Y = (-3)² = 9 Y = 1² = 1 Y = 3² = 9 Y = 5² = 25 A função de probabilidade da v.a. Y é dada por: P(Y=y) = P(X²=y) Portanto, a função de probabilidade da v.a. Y é: Y | P(Y=y) -------------- 9 | 1/8 + 1/2 = 5/8 1 | 1/6 25 | 5/24 Para determinar a função acumulada de probabilidade da v.a. Y, somamos as probabilidades acumuladas de cada valor possível de Y: Y | P(Y≤y) -------------- 9 | 5/8 1 | 5/8 + 1/6 = 19/24 25 | 19/24 + 5/24 = 1 Portanto, a função acumulada de probabilidade da v.a. Y é: Y | P(Y≤y) -------------- 9 | 5/8 1 | 19/24 25 | 1 Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.