dT dt -k(T-To)
A Lei de Resfriamento de Newton diz que dT/dt, a taxa de variação de temperatura de um corpo em relação ao tempo, é proporcional à d...

Question

dT dt -k(T-To)
A Lei de Resfriamento de Newton diz que dT/dt, a taxa de variação de temperatura de um corpo em relação ao tempo, é proporcional à diferença da sua temperatura Te da temperatura ambiente To, ou seja: Onde k>0 é uma constante. Vamos supor a temperatura ambiente constante. Nesse caso, a equação diferencial é de variáveis separáveis, e também linear. Deixamos para você a tarefa de mostrar que as soluções da equação são dadas por:
T = To + ce-kt
c é uma constante arbitrária, que fica determinada se for dada uma condição inicial. Note que, se t→ ∞, tem-se que T→ To, ou seja, a temperatura do corpo tende à temperatura ambiente, o que é razoável do ponto de vista da Física.
Um corpo resfria-se de 300°C a 150°C em 30 minutos quando imerso em um meio de temperatura constante, igual a 15°C. Determine a temperatura do corpo 30 minutos depois de a temperatura ter atingido 150°C.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos usar a equação diferencial dada pela Lei de Resfriamento de Newton:

dT/dt = -k(T - To)

Sabemos que a temperatura ambiente To é igual a 15°C, a temperatura inicial T0 é igual a 300°C e a temperatura final T é igual a 150°C. Também sabemos que o tempo t é igual a 30 minutos.

Vamos substituir esses valores na equação diferencial:

dT/dt = -k(T - 15)

Agora, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:

1/(T - 15) dT = -k dt

Integrando, temos:

ln|T - 15| = -kt + C

Onde C é uma constante de integração. Agora, vamos resolver para T:

T - 15 = e^(-kt + C)

T = 15 + Ce^(-kt)

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar o valor de C. Sabemos que quando t = 0, T = 300. Substituindo esses valores na equação, temos:

300 = 15 + Ce^0
300 = 15 + C

Portanto, C = 285. Agora, podemos reescrever a equação como:

T = 15 + 285e^(-kt)

Agora, vamos encontrar a temperatura do corpo 30 minutos depois de atingir 150°C. Substituindo t = 30 minutos e T = 150°C na equação, temos:

150 = 15 + 285e^(-k * 30)

Simplificando, temos:

135 = 285e^(-30k)

Dividindo por 285, temos:

e^(-30k) = 135/285

Tomando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:

-30k = ln(135/285)

Resolvendo para k, temos:

k = -ln(135/285)/30

Agora, podemos substituir o valor de k na equação para encontrar a temperatura do corpo 30 minutos depois de atingir 150°C:

T = 15 + 285e^(-kt)

T = 15 + 285e^(-(-ln(135/285)/30) * 30)

T = 15 + 285e^(ln(135/285))

T = 15 + 285 * (135/285)

T = 15 + 135

T = 150°C

Portanto, a temperatura do corpo 30 minutos depois de atingir 150°C é de 150°C.

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