4) Demonstre que (1,2,3), (2,3,4) e (-1,-2,-3) são todos coordenadas homogêneas do ponto (1/3, 2/3) (1 ponto).

Para demonstrar que (1,2,3), (2,3,4) e (-1,-2,-3) são coordenadas homogêneas do ponto (1/3, 2/3), precisamos verificar se essas coordenadas satisfazem a equação de homogeneidade. A equação de homogeneidade é dada por: x = wx' y = wy' z = wz' Onde (x, y, z) são as coordenadas homogêneas e (x', y', z') são as coordenadas do ponto. Vamos verificar se as coordenadas (1,2,3) satisfazem a equação de homogeneidade: 1 = w(1/3) 2 = w(2/3) 3 = w Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar o denominador: 3 = w Substituindo o valor de w nas outras equações: 2 = 3(2/3) 2 = 2 3 = 3 Portanto, as coordenadas (1,2,3) satisfazem a equação de homogeneidade. Podemos fazer o mesmo para as outras coordenadas: (2,3,4): 2 = w(1/3) 3 = w(2/3) 4 = w Multiplicando a primeira equação por 3: 6 = w Substituindo o valor de w nas outras equações: 3 = 6(2/3) 3 = 4 4 = 4 Portanto, as coordenadas (2,3,4) também satisfazem a equação de homogeneidade. (-1,-2,-3): -1 = w(1/3) -2 = w(2/3) -3 = w Multiplicando a primeira equação por 3: -3 = w Substituindo o valor de w nas outras equações: -2 = -3(2/3) -2 = -2 -3 = -3 Portanto, as coordenadas (-1,-2,-3) também satisfazem a equação de homogeneidade. Concluímos que todas as coordenadas (1,2,3), (2,3,4) e (-1,-2,-3) são coordenadas homogêneas do ponto (1/3, 2/3).