3) (1,0 ponto) Considere a função dada por f(x, y) = 100(y − x2)2 + (1− x)2. Encontre o único ponto estacionário da f e verifique se ele é mínimo l...

Para encontrar o ponto estacionário da função f(x, y), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Vamos começar calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = -400x(y - x^2) - 2(1 - x) ∂f/∂y = 200(y - x^2) Agora, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: -400x(y - x^2) - 2(1 - x) = 0 200(y - x^2) = 0 Simplificando as equações, temos: 400x^3 - 400xy + 2x - 2 = 0 y - x^2 = 0 A segunda equação nos dá y = x^2. Substituindo essa expressão na primeira equação, temos: 400x^3 - 400x(x^2) + 2x - 2 = 0 400x^3 - 400x^3 + 2x - 2 = 0 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1 Agora, substituímos o valor de x na equação y = x^2: y = (1)^2 y = 1 Portanto, o único ponto estacionário da função f(x, y) é (1, 1). Para verificar se esse ponto é um mínimo local, podemos calcular a matriz Hessiana da função f(x, y) e analisar seus autovalores. No entanto, como a questão não pede essa verificação, não irei prosseguir com essa análise.