2) Seja A ∈ M(2× 2) uma matriz. Mostre que: a) (0,5 ponto) A função g(x) = ⟨x,Ax⟩ é convexa em R2. b) (1,0 ponto) Se f(x) = 1/2 ⟨Ax, x⟩+⟨b, x⟩ com ...

a) Para mostrar que a função g(x) = ⟨x,Ax⟩ é convexa em R2, precisamos verificar se a matriz Hessiana de g(x) é semidefinida positiva para todo x em R2. A matriz Hessiana de g(x) é dada por H(x) = 2A, onde A é a matriz dada no enunciado. Como A é uma matriz qualquer, não podemos afirmar que H(x) é sempre semidefinida positiva. Portanto, não podemos concluir que a função g(x) é convexa em R2. b) Para mostrar que se f(x) = 1/2 ⟨Ax, x⟩+⟨b, x⟩ com A simétrica e b ∈ R2 é limitada inferiormente, então A é semidefinida positiva e f tem minimizador global, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Verificar se A é semidefinida positiva: Para isso, precisamos verificar se todos os autovalores de A são não negativos. Se todos os autovalores forem não negativos, então A é semidefinida positiva. 2. Encontrar o minimizador global de f(x): Para isso, precisamos encontrar o ponto onde o gradiente de f(x) é igual a zero. O gradiente de f(x) é dado por ∇f(x) = Ax + b. Igualando a zero, temos Ax + b = 0, o que nos permite encontrar o valor de x que minimiza f(x). 3. Verificar se o minimizador está no conjunto Im(A): Para isso, precisamos verificar se o vetor minimizador x está no conjunto de vetores que podem ser escritos como Ax, onde x é um vetor qualquer. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.