Atividade_1_PNL

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1a Atividade de Programação Não Linear
Profa. Flávia Morgana Data: 01/09/2023
Questões
1) Defina um problema padrão de programação não linear. Denotando-o por
(PNL), classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando
suas respostas via demonstrações ou contraexemplos dados em R2.
a) (0,5 ponto) Se (PNL) é irrestrito com função objetivo f cuja Hessiana é
semidefinida positiva em x∗, então x∗ é minimizador local de (PNL).
b) (0,5 ponto) O conjunto solução de um (PNL) convexo é convexo.
2) Seja A ∈ M(2× 2) uma matriz. Mostre que:
a) (0,5 ponto) A função g(x) = ⟨x,Ax⟩ é convexa em R2.
b) (1,0 ponto) Se f(x) =
1
2
⟨Ax, x⟩+⟨b, x⟩ com A simétrica e b ∈ R2. Mostre
que se f é limitada inferiormente, então A é semidefinida positiva e f
tem minimizador global. Dentre os minimizadores da f , existe algum
no conjunto Im(A)?
3) (1,0 ponto) Considere a função dada por
f(x, y) = 100(y − x2)2 + (1− x)2.
Encontre o único ponto estacionário da f e verifique se ele é mínimo local.
4) (0,5 ponto) Sejam f1, f2, . . . , fk : C → R funções convexas sobre o con-
junto convexo C ⊂ Rn. Então a função f(x) =
∑k
i=1 fi(x) é convexa sobre
C. Além disso, f é estritamente convexa se pelo menos uma das funções fi
é estritamente convexa.
Boa Atividade!!!