Considerando a função f(x, y) = ln(2x+3y+6z), encontre a direção unitária na qual f decresce mais rapidamente no ponto P = (-1,-1,1) e encontre a t...

Para encontrar a direção unitária na qual a função f(x, y) = ln(2x+3y+6z) decresce mais rapidamente no ponto P = (-1,-1,1), podemos utilizar o gradiente da função. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f(x, y, z): ∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = 2/(2x+3y+6z) ∂f/∂y = 3/(2x+3y+6z) ∂f/∂z = 6/(2x+3y+6z) Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto P = (-1,-1,1) nas derivadas parciais: ∂f/∂x = 2/(2*(-1)+3*(-1)+6*1) = 2/(-2-3+6) = 2/1 = 2 ∂f/∂y = 3/(2*(-1)+3*(-1)+6*1) = 3/(-2-3+6) = 3/1 = 3 ∂f/∂z = 6/(2*(-1)+3*(-1)+6*1) = 6/(-2-3+6) = 6/1 = 6 Portanto, o gradiente da função f no ponto P = (-1,-1,1) é ∇f(-1,-1,1) = (2, 3, 6). Para encontrar a direção unitária na qual f decresce mais rapidamente, basta normalizar o vetor gradiente: u = (∇f(-1,-1,1))/||∇f(-1,-1,1)|| Calculando a norma do vetor gradiente: ||∇f(-1,-1,1)|| = sqrt(2^2 + 3^2 + 6^2) = sqrt(4 + 9 + 36) = sqrt(49) = 7 Portanto, a direção unitária na qual f decresce mais rapidamente no ponto P = (-1,-1,1) é: u = (2/7, 3/7, 6/7) Para encontrar a taxa de variação de f nessa direção, podemos calcular o produto escalar entre o vetor gradiente e a direção unitária: taxa de variação = ∇f(-1,-1,1) · u Calculando o produto escalar: ∇f(-1,-1,1) · u = (2, 3, 6) · (2/7, 3/7, 6/7) = (2*(2/7) + 3*(3/7) + 6*(6/7)) = (4/7 + 9/7 + 36/7) = 49/7 = 7 Portanto, a taxa de variação de f na direção unitária (2/7, 3/7, 6/7) é 7.