(a) Qual é o ponto sobre a curva y = (ln(x+3))2 em que a reta tangente é horizontal ? (b) Encontre a função f(x), sabendo que f ′(x) = (1 + x)/...

(a) Para encontrar o ponto em que a reta tangente é horizontal, precisamos encontrar o valor de x em que a derivada da função é igual a zero. y = (ln(x+3))^2 y' = 2(ln(x+3))*(1/(x+3)) Para a reta tangente ser horizontal, y' = 0: 2(ln(x+3))*(1/(x+3)) = 0 ln(x+3) = 0 x+3 = e^0 x = e^0 - 3 x = 1 - 3 x = -2 Substituindo x = -2 na equação original, temos: y = (ln(-2+3))^2 y = (ln1)^2 y = 0 Portanto, o ponto em que a reta tangente é horizontal é (-2, 0). (b) Para encontrar a função f(x), precisamos integrar f'(x): f'(x) = (1 + x)/√x f(x) = ∫(1 + x)/√x dx f(x) = ∫(x^(-1/2) + x^(1/2)) dx f(x) = 2/3x^(3/2) + 2x^(1/2) + C Usando a informação de que f(1) = 0, podemos encontrar o valor de C: 0 = 2/3(1)^(3/2) + 2(1)^(1/2) + C 0 = 2/3 + 2 + C C = -8/3 Portanto, a função f(x) é: f(x) = (2/3)x^(3/2) + 2x^(1/2) - 8/3