Questão 2. Dados os pontos A(−1, 2, 1) e B(−2,−4, 6), a reta s : { 3x− y − 1 = 0 −x+ y + 2z − 1 = 0 e o plano β : 2x+ y − z + 5 = 0, determine: a)...

a) Para determinar uma equação geral do plano α que seja perpendicular ao plano β e que a distância d(A,α) = d(B,α) = 0, podemos utilizar o produto escalar entre os vetores normais dos planos. O vetor normal do plano β é dado pelos coeficientes das variáveis x, y e z na equação do plano β, ou seja, (2, 1, -1). Para encontrar o vetor normal do plano α, podemos utilizar o fato de que ele deve ser perpendicular ao vetor normal do plano β. Portanto, o vetor normal do plano α será ortogonal ao vetor (2, 1, -1). Podemos encontrar um vetor ortogonal a (2, 1, -1) através do produto vetorial com um vetor qualquer que não seja paralelo a ele. Por exemplo, podemos escolher o vetor (1, 0, 0). Calculando o produto vetorial entre (2, 1, -1) e (1, 0, 0), obtemos o vetor (-1, -2, 1). Agora, temos o vetor normal do plano α, que é (-1, -2, 1). Podemos utilizar esse vetor para determinar a equação geral do plano α. Substituindo as coordenadas do ponto A(-1, 2, 1) na equação geral do plano α, temos: -1*(-1) + (-2)*2 + 1*1 + d = 0 1 - 4 + 1 + d = 0 -2 + d = 0 d = 2 Portanto, a equação geral do plano α que é perpendicular ao plano β e que a distância d(A,α) = d(B,α) = 0 é: -x - 2y + z + 2 = 0 b) Para determinar a distância d(A, s) entre o ponto A(-1, 2, 1) e a reta s, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. A fórmula da distância entre um ponto (x0, y0, z0) e uma reta dada pelas equações paramétricas x = x1 + at, y = y1 + bt e z = z1 + ct é: d = |(x0 - x1) * a + (y0 - y1) * b + (z0 - z1) * c| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) No caso da reta s, temos as equações paramétricas: x = -1 + 3t y = 2 - t z = 1 + 2t Substituindo as coordenadas do ponto A(-1, 2, 1) na fórmula da distância, temos: d = |(-1 - (-1)) * 3 + (2 - 2) * (-1) + (1 - 1) * 2| / sqrt(3^2 + (-1)^2 + 2^2) d = |0 * 3 + 0 * (-1) + 0 * 2| / sqrt(9 + 1 + 4) d = 0 / sqrt(14) d = 0 Portanto, a distância d(A, s) entre o ponto A(-1, 2, 1) e a reta s é igual a 0.