T(x,y) = (2x + 3y, 3x + 2y) 1) Qual a matriz “M” da T.L.? 2) Quais os autovalores e autovetores da T.L.? 3) Usando o conceito de Diagonalizaçã...

1) A matriz "M" da transformação linear T(x, y) = (2x + 3y, 3x + 2y) é: M = | 2 3 | | 3 2 | 2) Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz "M", podemos calcular o determinante da matriz "M - λI", onde λ é o autovalor desconhecido e I é a matriz identidade. M - λI = | 2-λ 3 | | 3 2-λ | Calculando o determinante dessa matriz, obtemos a seguinte equação característica: (2-λ)(2-λ) - 3*3 = 0 (λ-1)(λ-5) = 0 Portanto, os autovalores da matriz "M" são λ = 1 e λ = 5. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na matriz "M - λI" e resolvemos o sistema de equações resultante. Para λ = 1: M - λI = | 1 3 | | 3 1 | Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor correspondente a λ = 1: v1 = (1, -1). Para λ = 5: M - λI = | -3 3 | | 3 -3 | Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor correspondente a λ = 5: v2 = (1, 1). Portanto, os autovalores da matriz "M" são λ1 = 1 e λ2 = 5, e os autovetores correspondentes são v1 = (1, -1) e v2 = (1, 1). 3) Para calcular M^10 usando o conceito de diagonalização de matrizes, podemos diagonalizar a matriz "M" encontrando uma matriz diagonal "D" e uma matriz invertível "P" tal que M = PDP^(-1), onde "D" contém os autovalores de "M" na diagonal e "P" contém os autovetores de "M" como colunas. D = | 1 0 | | 0 5 | P = | 1 1 | | -1 1 | Calculando PDP^(-1), obtemos: M^10 = PD^10P^(-1) D^10 = | 1^10 0 | | 0 5^10 | Calculando D^10, obtemos: D^10 = | 1 0 | | 0 9765625 | Substituindo na fórmula, temos: M^10 = PDP^(-1) = | 1 1 | * | 1 0 | * | 1 -1 | | -1 1 | | 0 9765625 | Calculando o produto das matrizes, obtemos: M^10 = | 1 9765625 | | -9765624 9765625 | Portanto, M^10 = | 1 9765625 | | -9765624 9765625 |.