3) Usando o conceito de Diagonalização de Matrizes, calcule M10. T(x,y) = (2x + 3y, 3x + 2y)

Para calcular M^10, precisamos diagonalizar a matriz M. Vamos começar encontrando os autovalores e autovetores da matriz M. A matriz M é dada por: M = [[2, 3], [3, 2]] Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica det(M - λI) = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. M - λI = [[2 - λ, 3], [3, 2 - λ]] Calculando o determinante dessa matriz: det(M - λI) = (2 - λ)(2 - λ) - 3 * 3 = (4 - 4λ + λ^2) - 9 = λ^2 - 4λ - 5 Igualando a equação característica a zero: λ^2 - 4λ - 5 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores: λ1 = 5 λ2 = -1 Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 5: (M - 5I)v1 = 0 Substituindo os valores na equação: [2 - 5, 3] [x] = [0] [3, 2 - 5] [y] = [0] Simplificando: [-3, 3] [x] = [0] [3, -3] [y] = [0] Da primeira equação, temos -3x + 3y = 0, o que implica em x = y. Podemos escolher um valor arbitrário para y, como y = 1, e então temos x = 1. Portanto, o autovetor correspondente a λ1 = 5 é v1 = [1, 1]. Para λ2 = -1: (M - (-1)I)v2 = 0 Substituindo os valores na equação: [2 + 1, 3] [x] = [0] [3, 2 + 1] [y] = [0] Simplificando: [3, 3] [x] = [0] [3, 3] [y] = [0] Da primeira equação, temos 3x + 3y = 0, o que implica em x = -y. Podemos escolher um valor arbitrário para y, como y = 1, e então temos x = -1. Portanto, o autovetor correspondente a λ2 = -1 é v2 = [-1, 1]. Agora, podemos diagonalizar a matriz M usando os autovetores encontrados: P = [v1, v2] = [[1, -1], [1, 1]] D = [λ1, 0] [0, λ2] D = [5, 0] [0, -1] A matriz diagonalizada é dada por: M = PDP^(-1) Calculando P^(-1): P^(-1) = (1 / (1 * 1 - (-1) * 1)) * [[1, 1], [-1, 1]] = (1 / 2) * [[1, 1], [-1, 1]] = [[1/2, 1/2], [-1/2, 1/2]] Calculando M^10: M^10 = (PDP^(-1))^10 = PD^10P^(-1) Calculando D^10: D^10 = [[5^10, 0], [0, (-1)^10]] = [[9765625, 0], [0, 1]] Substituindo os valores na fórmula: M^10 = PDP^(-1) = [[1, -1], [1, 1]] * [[9765625, 0], [0, 1]] * [[1/2, 1/2], [-1/2, 1/2]] Realizando as multiplicações: M^10 = [[1, -1], [1, 1]] * [[9765625, 0], [0, 1]] * [[1/2, 1/2], [-1/2, 1/2]] = [[9765625, -1], [9765625, 1]] * [[1/2, 1/2], [-1/2, 1/2]] = [[(9765625 * 1/2) + (-1 * -1/2), (9765625 * 1/2) + (-1 * 1/2)], [(9765625 * 1/2) + (1 * -1/2), (9765625 * 1/2) + (1 * 1/2)]] = [[4882812.5 + 1/2, 4882812.5 - 1/2], [4882812.5 - 1/2, 4882812.5 + 1/2]] = [[4882813, 4882812], [4882812, 4882813]] Portanto, M^10 = [[4882813, 4882812], [4882812, 4882813]].