EXERCÍCIO 3. Mostre que toda equação diferencial separável g(y)dy dx = f(x) é também uma equação diferencial exata.

Para mostrar que uma equação diferencial separável g(y)dy/dx = f(x) também é uma equação diferencial exata, precisamos verificar se a equação satisfaz a condição de exatidão. Uma equação diferencial é considerada exata se existir uma função ψ(x, y) tal que ∂ψ/∂x = f(x, y) e ∂ψ/∂y = g(x, y). Para isso, vamos integrar g(y)dy em relação a y e f(x)dx em relação a x. Se as derivadas parciais dessas integrais em relação a x e y forem iguais, então a equação é exata. Integrando g(y)dy em relação a y, obtemos G(y), onde G'(y) = g(y). Integrando f(x)dx em relação a x, obtemos F(x), onde F'(x) = f(x). Agora, vamos verificar se as derivadas parciais de G(y) em relação a y e de F(x) em relação a x são iguais. ∂G/∂y = g(y) = f(x) = ∂F/∂x Se as derivadas parciais forem iguais, então a equação diferencial separável é também uma equação diferencial exata. Portanto, podemos concluir que toda equação diferencial separável g(y)dy/dx = f(x) é também uma equação diferencial exata.