Exemplo 1. Resolver, nos números complexos, a equação ax4 + bx3 + ca2 + 12x2 - 0 sabendo que ela possui uma raiz dupla.

Para resolver essa equação nos números complexos, vamos utilizar o fato de que ela possui uma raiz dupla. Se uma equação possui uma raiz dupla, isso significa que essa raiz se repete duas vezes. Vamos chamar essa raiz de "r". Como ela é uma raiz dupla, podemos escrever a equação como: (x - r)^2 = 0 Expandindo essa expressão, temos: (x - r)(x - r) = 0 Multiplicando os termos, temos: x^2 - 2rx + r^2 = 0 Agora, vamos comparar essa equação com a equação dada: ax^4 + bx^3 + cx^2 + 12x^2 - 0 Podemos ver que o termo x^4 não está presente na equação dada, então o coeficiente "a" deve ser igual a zero. Além disso, o termo x^3 também não está presente, então o coeficiente "b" também deve ser igual a zero. Agora, substituindo esses valores na equação, temos: 0x^4 + 0x^3 + cx^2 + 12x^2 - 0 Simplificando, temos: (c + 12)x^2 = 0 Para que essa equação seja verdadeira, o coeficiente "c + 12" deve ser igual a zero. Portanto, temos: c + 12 = 0 c = -12 Portanto, a equação original é: 0x^4 + 0x^3 - 12x^2 + 12x^2 - 0 Simplificando, temos: -12x^2 = 0 A solução para essa equação é x = 0. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.