Sejam Ω ⊂ RN aberto de RN e f : Ω→ R diferenciável em Ω. Suponha que f tenha um máximo local em x0 ∈ Ω. Mostre que f ′(x0) = 0.

Para mostrar que f'(x0) = 0 quando f tem um máximo local em x0 ∈ Ω, podemos usar o Teorema de Fermat. Se f tem um máximo local em x0, isso significa que para qualquer ponto x ∈ Ω próximo a x0, temos f(x) ≤ f(x0). Agora, vamos supor que f'(x0) ≠ 0. Isso significa que a derivada de f em x0 é diferente de zero. Podemos usar a definição de derivada para escrever f'(x0) como o limite da razão incremental: f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗 Se f'(x0) ≠ 0, então o limite acima não pode ser igual a zero. No entanto, se escolhermos um valor de h suficientemente pequeno, podemos encontrar um ponto x ∈ Ω próximo a x0 onde a razão incremental seja positiva ou negativa, dependendo do sinal de f'(x0). Se f'(x0) > 0, então para h suficientemente pequeno, teremos f(x0+h) > f(x0), o que contradiz a suposição de que f tem um máximo local em x0. Da mesma forma, se f'(x0) < 0, então para h suficientemente pequeno, teremos f(x0+h) < f(x0), o que também contradiz a suposição de máximo local. Portanto, a única possibilidade é que f'(x0) = 0 quando f tem um máximo local em x0.