Uma função f : RN → RM é própria se |f(x)| tende para infinito quando |x| tende para infinito, isto é, se para todo C > 0 existe R > 0 tal que...

Para mostrar que a imagem inversa por f de um compacto de RM é também um compacto de RN, podemos usar a definição de continuidade da função f. Se f é própria e contínua, isso significa que para todo C > 0, existe R > 0 tal que |x| > R implica em |f(x)| > C. Agora, suponha que K seja um compacto de RM e considere a imagem inversa de K por f, denotada por f^(-1)(K). Queremos mostrar que f^(-1)(K) é um compacto de RN. Primeiro, vamos mostrar que f^(-1)(K) é fechado. Seja {x_n} uma sequência em f^(-1)(K) que converge para um ponto x em RN. Precisamos mostrar que x também pertence a f^(-1)(K). Como f é contínua, temos que f(x_n) converge para f(x). Como {x_n} está em f^(-1)(K), temos que f(x_n) está em K para todo n. Portanto, f(x) também está em K, o que implica que x está em f^(-1)(K). Portanto, f^(-1)(K) é fechado. Agora, vamos mostrar que f^(-1)(K) é limitado. Suponha por contradição que f^(-1)(K) não é limitado. Isso significa que para todo n, existe um ponto x_n em f^(-1)(K) tal que |x_n| > n. No entanto, isso implicaria que |f(x_n)| > C para algum C > 0, o que contradiz o fato de f ser própria. Portanto, f^(-1)(K) deve ser limitado. Concluímos que f^(-1)(K) é um conjunto fechado e limitado, o que significa que é compacto em RN. Para mostrar que |f| atinge seu mínimo, podemos usar o Teorema do Valor Extremo. Como f é própria e contínua, e RN é um conjunto fechado e limitado, o Teorema do Valor Extremo garante que |f| atinge seu mínimo em RN. Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.