(Unicamp/2018): Sejam a e b números reais tais que a matriz satisfaz a equação A2= a.A + b.I, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o p...

Para resolver essa questão, vamos utilizar a propriedade de potência de matriz. Dada a equação A^2 = a.A + b.I, onde A é uma matriz e I é a matriz identidade de ordem 2, queremos encontrar o valor do produto ab. Primeiro, vamos expandir a expressão A^2. Temos: A^2 = a.A + b.I Multiplicando a matriz A por ela mesma, temos: A.A = a.A + b.I Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes: |a11 a12| * |a11 a12| = a * |a11 a12| + b * |1 0| |a21 a22| |a21 a22| |a21 a22| |0 1| Multiplicando as matrizes, temos: |a11*a11 + a12*a21 a11*a12 + a12*a22| = |a*a11 a*a12| + |b 0| |a21*a11 + a22*a21 a21*a12 + a22*a22| |a*a21 a*a22| |0 b| Igualando os elementos correspondentes, temos: a11*a11 + a12*a21 = a*a11 + b a11*a12 + a12*a22 = a*a12 a21*a11 + a22*a21 = a*a21 a21*a12 + a22*a22 = a*a22 + b Agora, vamos analisar a diagonal principal da matriz A^2: a11*a11 + a12*a21 = a*a11 + b a21*a12 + a22*a22 = a*a22 + b Podemos reescrever essas equações como: a11^2 + a12*a21 = a*a11 + b a21*a12 + a22^2 = a*a22 + b Agora, vamos somar as duas equações: a11^2 + a12*a21 + a21*a12 + a22^2 = a*a11 + a*a22 + 2b Simplificando, temos: (a11^2 + 2*a12*a21 + a22^2) = a*(a11 + a22) + 2b Agora, vamos analisar a diagonal secundária da matriz A^2: a12*a21 + a11*a22 = a*a12 a21*a12 + a22*a11 = a*a21 Podemos reescrever essas equações como: 2*a12*a21 + a11*a22 = a*a12 2*a21*a12 + a22*a11 = a*a21 Agora, vamos somar as duas equações: 2*a12*a21 + a11*a22 + 2*a21*a12 + a22*a11 = a*(a12 + a21) Simplificando, temos: 2*(a12*a21 + a21*a12) + (a11*a22 + a22*a11) = a*(a12 + a21) Agora, vamos substituir as expressões obtidas na equação inicial A^2 = a.A + b.I: (a11^2 + 2*a12*a21 + a22^2) * |a11 a12| = a * |a11 a12| + b * |1 0| |a21 a22| |a21 a22| |0 1| Expandindo a equação, temos: |a11^3 + 2*a12*a21*a11 + a22^2*a11 + a11*a12*a21 + 2*a12^2*a21 + a22*a12*a21 a11^2*a12 + 2*a12*a21*a22 + a22^2*a12 + a11*a12*a22 + 2*a12^2*a22 + a22*a12*a22| = |a*a11 a*a12| + |b 0| |a21*a11^2 + 2*a21*a12*a21 + a22*a21*a11 + a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + a22*a21*a21 a21*a11*a12 + 2*a21*a12*a22 + a22*a21*a12 + a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + a22*a21*a22| |a*a21 a*a22| |0 b| Simplificando, temos: |a11^3 + 2*a12*a21*a11 + a22^2*a11 + a11*a12*a21 + 2*a12^2*a21 + a22*a12*a21 a11^2*a12 + 2*a12*a21*a22 + a22^2*a12 + a11*a12*a22 + 2*a12^2*a22 + a22*a12*a22| = |a*a11 a*a12| + |b 0| |a21*a11^2 + 2*a21*a12*a21 + a22*a21*a11 + a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + a22*a21*a21 a21*a11*a12 + 2*a21*a12*a22 + a22*a21*a12 + a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + a22*a21*a22| |a*a21 a*a22| |0 b| Agora, vamos analisar os elementos correspondentes das duas matrizes: a11^3 + 2*a12*a21*a11 + a22^2*a11 + a11*a12*a21 + 2*a12^2*a21 + a22*a12*a21 = a*a11 + b a11^2*a12 + 2*a12*a21*a22 + a22^2*a12 + a11*a12*a22 + 2*a12^2*a22 + a22*a12*a22 = a*a12 a21*a11^2 + 2*a21*a12*a21 + a22*a21*a11 + a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + a22*a21*a21 = a*a21 a21*a11*a12 + 2*a21*a12*a22 + a22*a21*a12 + a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + a22*a21*a22 = a*a22 + b Agora, vamos simplificar essas equações: a11^3 + 2*a12*a21*a11 + a22^2*a11 + a11*a12*a21 + 2*a12^2*a21 + a22*a12*a21 = a*a11 + b a11^2*a12 + 2*a12*a21*a22 + a22^2*a12 + a11*a12*a22 + 2*a12^2*a22 + a22*a12*a22 = a*a12 a21*a11^2 + 2*a21*a12*a21 + a22*a21*a11 + a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + a22*a21*a21 = a*a21 a21*a11*a12 + 2*a21*a12*a22 + a22*a21*a12 + a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + a22*a21*a22 = a*a22 + b Agora, vamos somar as duas primeiras equações: a11^3 + 2*a12*a21*a11 + a22^2*a11 + a11*a12*a21 + 2*a12^2*a21 + a22*a12*a21 + a11^2*a12 + 2*a12*a21*a22 + a22^2*a12 + a11*a12*a22 + 2*a12^2*a22 + a22*a12*a22 = a*a11 + a*a12 + b Simplificando, temos: a11^3 + 3*a12*a21*a11 + 2*a22^2*a11 + 2*a11*a12*a21 + 4*a12^2*a21 + 2*a22*a12*a21 + a11^2*a12 + 3*a12*a21*a22 + 2*a22^2*a12 + 2*a11*a12*a22 + 4*a12^2*a22 + 2*a22*a12*a22 = a*(a11 + a12) + b Agora, vamos somar as duas últimas equações: a21*a11^2 + 2*a21*a12*a21 + a22*a21*a11 + a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + a22*a21*a21 + a21*a11*a12 + 2*a21*a12*a22 + a22*a21*a12 + a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + a22*a21*a22 = a*a21 + a*a22 Simplificando, temos: 2*a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a12 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a22 = a*(a21 + a22) Agora, vamos somar as duas equações obtidas: a11^3 + 3*a12*a21*a11 + 2*a22^2*a11 + 2*a11*a12*a21 + 4*a12^2*a21 + 2*a22*a12*a21 + a11^2*a12 + 3*a12*a21*a22 + 2*a22^2*a12 + 2*a11*a12*a22 + 4*a12^2*a22 + 2*a22*a12*a22 + 2*a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a12 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a22 = a*(a11 + a12 + a21 + a22) + b Simplificando, temos: a11^3 + 3*a12*a21*a11 + 2*a22^2*a11 + 2*a11*a12*a21 + 4*a12^2*a21 + 2*a22*a12*a21 + a11^2*a12 + 3*a12*a21*a22 + 2*a22^2*a12 + 2*a11*a12*a22 + 4*a12^2*a22 + 2*a22*a12*a22 + 2*a21*a12*a21 + 2*a21^2*a21 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a12 + 2*a21*a12*a22 + 2*a21^2*a22 + 2*a22*a21*a22 = a*a + b Agora, vamos agrupar os termos semelhantes: a11^3 + a11^2*a12 + 2*a11*a12*a21 + 2*a11*a12*a22 + 2*a21*a12*a21 + 2*a21*a12*a22 + 2*a22*a12*a21 + 2*a22*a12*a22 + 3*a12*a21*a11 + 3*a12*a21*a22 + 4*a12^2*a21 + 4*a12^2*a22 + 2*a21^2*a21 + 2*a21^2*a22 + 2*a22^2*a11 + 2*a22^2*a12 + 2*a22^2*a21 + 2*a22^2*a22 + 2*a22*a21*a12 + 2*a22*a21*a22 = a*a + b Agora, vamos analisar os termos da equação: a11^3 + a11^2*a12 + 2*a11*a12*a21 + 2*a11*a12*a22 + 2*a21*a12*a21 + 2*a21*a12*a22 + 2*a22*a12*a21 + 2*a22*a12*a22 + 3*a12*a21*a11 + 3*a12*a21*a22 + 4*a12^2*a21 + 4*a12^2*a22 + 2*a21^2*a21 + 2*a21^2*a22 + 2*a22^2*a11 + 2*a22^2*a12 + 2*a22^2*a21 + 2*a22^2*a22 + 2*a22*a21*a12 + 2*a22*a21*a22 = a*a + b Podemos observar que todos os termos da equação são múltiplos de a, exceto o termo b. Portanto, podemos concluir que o produto ab é igual a b. Resposta: O produto ab é igual a b.